ACM动态规划入门与经典题目解析

ACM动态规划总结文档包含了两道经典的问题，它们分别代表了动态规划在解决实际问题中的不同应用和技巧。 首先，题目Pkuacm1163 "The Triangle" 是一个典型的多段图动态规划问题。在这个二叉树路径问题中，目标是找到从叶子节点到根节点的路径，使得路径上所有数字之和最大。动态规划的核心在于构建一个二维数组（number[][], 通常是状态数组），从叶子节点开始，通过递推计算每个节点到其父节点的最大值。具体来说，数组中的每个元素 number[i][j] 表示以第i个节点为终点，从叶节点到第j个节点（包括j）的最大路径和。代码通过比较包含当前节点和不包含当前节点两种情况下的最大值来更新状态，确保每次都选择最优解。这种自底向上的策略，避免了重复计算，使得时间复杂度优化至O(n^2)，其中n为节点数量。 其次，题目Pkuacm1579 "Function Run Fun" 属于函数递归问题，但采用的是动态规划方法来解决。原问题是定义了一个三维递归函数w(a, b, c)，其递归规则根据边界条件、大小关系和递减顺序进行。由于原递归方法会导致大量的重复计算，因此通过创建一个三维数组，从基础情况w(0,0,0)开始，自底向上逐层计算，直到得到最终结果w(20,20,20)。这种方法避免了指数级的时间复杂性，将其降低到O(n^3)，符合动态规划的基本思想——将子问题的解存储起来，以便后续重用，这是自顶向下的递推策略。这道题展示了动态规划在处理具有大量子问题的复杂问题时的有效性，以及如何通过空间换时间优化算法性能。 这两个例子都展示了动态规划在ACM编程中的重要性，尤其是在处理具有重叠子问题和最优子结构特征的问题时。理解并熟练运用动态规划，可以帮助选手在比赛中快速找到解决方案，提高解决问题的效率。刘汝佳的《算法艺术和信息学竞赛》对于这类问题的讲解提供了深入的学习材料。