二分图与网络流解题策略：Battleships与最短路增强应用

在本篇文章中，我们将探讨两个与二分图相关的算法问题，首先是BHDU 5093 Battle ships题目的解法，该问题涉及在一个n行m列的海洋图中放置船只，避免船只之间相互看见，即只要有冰山阻挡，船只之间就不能直接视域。解决此问题的关键在于将图分为两个独立的部分，通过二分图模型来确定船只的最大放置数量。行与列被单独对待，每个冰山分割的区域被视为一个可放置船只的“块”。对于每一行和每一列，如果有冲突（即存在冰山阻挡），则在二分图中添加边，目的是找到最大匹配，从而找到最大的船只布局数量。 第二个问题是AHDU 6582 Path问题，这是一个关于有向图的优化问题。目标是在保持从1到n的最短路径长度至少增加1的前提下，找到最小的总代价。首先，构建一个新的图G，包含所有原始最短路径上的边，并运行最小割算法。利用“最小割=最大流”的原理，通过最大流算法确定最小的代价。在这个过程中，关键在于观察并利用dijkstra算法中的边和节点信息，通过满足dist[u]+cost[i]+dist2[v]==dist[n]的条件来确定边的存在，从而建立正确的图模型。 对于网络流部分，理解如何将问题转化为图论模型至关重要。在处理复杂图时，如反向建图和最大匹配等技术的应用，可以帮助我们有效地解决问题。通过这两个例子，我们可以看到二分图在解决实际问题中的实用性和灵活性，特别是当涉及到空间划分和约束条件时。同时，对算法的理解和动手实践，如画图模拟，有助于加深对这些概念的实际应用和理解。