ACM培训：字典树与KMP算法解析

“前缀函数-字典树和KMP” 前缀函数是字符串匹配算法中的一个重要概念，主要用于优化字符串的匹配过程，避免在不匹配时的无效比较。在描述中提到的问题核心是如何让模式串T（即待查找的字符串）尽可能地向右滑动，以便在文本串S中进行高效搜索。当模式串T的当前字符与文本串S的对应位置字符不匹配时，前缀函数可以帮助我们确定T应向右移动的距离。 前缀函数定义了一个关系：对于模式串T中的任意位置i和j (1 ≤ j < i)，如果T(1, i)是T(1, j)的后缀，那么前缀函数值π(i)定义为最长的后缀T(j+1, i)同时也是T(1, j)的前缀的长度。在不匹配时，T可以向右滑动π(i) - (i - j + 1)个位置，这样可以保证不会错过任何匹配的可能性，同时避免了不必要的比较。 例如，如果模式串T是"ABCABD"，则前缀函数π(T)为[0, 0, 1, 0, 2, 0]。当在文本串S中找到一个不匹配的字符时，根据前缀函数，我们可以快速计算出模式串应滑动的距离。 字典树（Trie），又称前缀树或字首树，是一种用于存储动态集合或关联数组的有序树数据结构。在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，字典树常被用来解决单词查找、统计和排序等问题。例如，在例1中，给定一系列单词，我们需要构建一棵字典树，使得每个单词都能通过从根节点到某个叶子节点的路径来表示，而且这个树的节点数量是最少的。在构建过程中，每个节点代表一个字符，从根节点到节点的路径表示一个单词的前缀，而特殊标记的节点表示其对应的字符是单词的最后一个字符。 构建字典树的过程通常包括以下步骤： 1. 初始化根节点，根节点不包含字母。 2. 遍历单词列表，对于每个单词，从根节点开始逐字符查找或创建相应的子节点。如果字符不存在，就创建新的子节点；如果字符是单词的最后一个字符，就在该节点上做特殊标记。 3. 继续插入下一个单词，直到所有单词都插入完毕。 在给定的样例中，我们看到字典树从单词"A"开始构建，逐步添加了"AN"、"ASP"、"AS"、"ASC"、"ASCII"、"BAS"和"BASIC"等单词。每个单词的添加都涉及到了查找和创建子节点的过程，最后得到的字典树有13个节点。 KMP算法是另一个字符串匹配算法，它利用前缀函数来避免不必要的字符比较，提高了匹配效率。KMP算法的核心是构建一个部分匹配表，这个表记录了在模式串中每次不匹配时，模式串可以向前滑动的最大距离，从而减少了回溯次数。 总结来说，前缀函数、字典树和KMP算法都是在字符串处理中非常重要的工具，它们分别解决了字符串匹配中的滑动优化、高效查找和模式匹配问题。在ACM竞赛中，掌握这些技术对于解决相关问题至关重要。