蓝桥杯大臣的旅费

<think>嗯，我现在要解决蓝桥杯里的“大臣的旅费”这道题。首先得理解题目要求。题目描述是，T国的大臣们建了一个树形结构的交通网络，首都作为根节点，其他城市通过唯一的路径连接。大臣J要从一个城市到另一个城市，路费计算方式是：每千米花费（11+12+…+s），也就是s(s+1)/2。总路费就是各段路程的和。所以问题转化为找出树中最长的路径，然后计算对应的费用。 首先，我需要明确这题的算法。因为交通网络是一棵树，且路径唯一，所以最长路径应该就是树的直径。树的直径可以通过两次BFS或者DFS来求解。第一次从任意点出发找到最远的点，第二次从这个最远点出发再找最远的点，这段距离就是直径的长度。 那具体怎么做呢？比如，如何构建这棵树的结构？通常可以用邻接表来存储，每个节点保存相连的节点及距离。比如用字典或者列表来存，每个节点对应一个列表，里面存的是相邻节点和边的权值。 举个例子，输入样例是： 5 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4 这里表示城市1和2之间距离2，1和3距离1，2和4距离5，2和5距离4。构建邻接表的话，每个城市保存其相邻城市和距离。比如，城市1的邻接点有2（距离2）、3（1）；城市2的邻接点有1（2）、4（5）、5（4）等等。 接下来是求树的直径。首先任选一个点，比如1，进行一次DFS或BFS找到离它最远的点u。这里可能得到的是4或者5中的一个。假设第一次找到的是4，距离是1到2到4，总距离2+5=7？或者需要重新计算路径？ 或者可能第一次DFS的正确性需要确认。比如，从1出发，最远的是4吗？或者可能经过不同的路径？ 假设第一次BFS从节点1出发，找到最远的节点是4，距离是1→2→4，总距离是2+5=7。然后第二次从4出发，BFS找最远的节点，应该是5，路径是4→2→5，距离5+4=9？或者可能更长的路径？比如4→2→5的总距离是5+4=9，或者4→2→1→3的距离是5+2+1=8？所以此时最远的是5，距离是9，那么树的直径是9？ 那总路费应该是9*(9+1)/2 + ...？或者题目中的s是各段路程之和的总和。比如，总路程是d，那么费用是d*(d+1)/2。例如样例输入中的输出是135，对应的是从城市4到5的总路程是11（5+4=9？或者可能我哪里弄错了？样例输出是135，代入公式：s(s+1)/2=135，解得s^2 +s -270=0 → s= (-1±√(1+1080))/2 →√1081≈32.88，所以s≈( -1+32.88)/2≈15.94？这不对，可能哪里弄错了。 哦，样例输入中的输出是135，根据样例输入的数据，城市4到5的最短路径应该是4→2→5，距离是5+4=9。代入公式的话，9×10/2=45，但样例输出是135。这说明可能我的理解有误。或者题目中的s是各段路程的累加，比如每一段s_i，总费用是Σ(s_i*(s_i +1)/2)。比如，每段路单独计算费用，然后总和。比如，样例中的路径是4到2到5，两段路，距离5和4。费用分别是5×6/2=15，4×5/2=10，总和是25，不是样例输出的135。显然这不符合。所以可能我误解了题目中的费用计算方式。 或者题目中的总路程s是整条路径的总长度，比如总路程是9，那么费用是1+2+...+9=9×10/2=45。但样例输出是135，所以显然我的理解错误。这时候可能需要看问题中的样例解释。 看用户提供的引用中的样例输入和输出：样例输入是四个边，输出是135。例如，引用3中的样例输入1： 5 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4 样例输出是135，对应的是城市4到5的路费。那根据用户提供的引用3中的解题思路，可能需要找到最长路径，也就是树的直径。比如，城市4到5的路径总长度是4到2到5，总长度5+4=9？那费用应该是9*(9+1)/2=45？但样例输出是135，所以可能我哪里理解错了。 或者，路径的总长度是各段的总和，但费用计算是每千米的费用，比如第1千米11元，第二千米12元，依此类推。比如，总路程s千米的话，费用是11+12+…+(10+s)。这是一个等差数列，首项11，末项10+s，项数s。总和为s*(11 + (10+s))/2 = s*(21 +s)/2。比如，如果s=9的话，总和是9*(21+9)/2=9*30/2=135，正好对应样例输出。哦，对，原来如此。我之前误解了题目中的费用计算方式。题目中的描述是“每千米花费的路费是（11,12,…，s）”，其中s是总千米数。例如，如果s是总长度，那么总费用是11+12+…+(10+s)。也就是从第1千米到第s千米，每千米的费用依次是11,12,…,10+s。等差数列求和的话，总费用是s*(11 + (10+s))/2 = s*(s+21)/2。比如，样例中的总路程是9，所以费用是9*(9+21)/2=9*30/2=135，正确。所以关键点在于找到树中最长的路径（即直径）的总长度s，然后计算s*(s+21)/2。 那现在问题转化为如何求树的直径。求树的直径的经典方法是两次BFS或DFS： 1. 任意选一个点u，找到离它最远的点v。 2. 再从v出发，找到离它最远的点w。 3. v到w的路径就是树的直径，长度即为所求的s。 所以算法步骤是： 1. 构建树的邻接表。 2. 进行第一次BFS/DFS，找到距离任意节点最远的节点v。 3. 进行第二次BFS/DFS，从v出发找到最远节点w，记录最大距离s。 4. 计算费用s*(s+21)/2。 现在需要确定如何实现。比如，用DFS还是BFS？由于树可能较大，用非递归的方式更安全，比如BFS。或者递归DFS可能会栈溢出，所以对于大数，用BFS更稳妥。 接下来是代码实现的步骤： 1. 输入处理：读取n，然后读取n-1条边，构建邻接表。 2. 编写一个函数，用BFS或者DFS来找到距离某个起点最远的节点及其距离。 3. 第一次调用该函数，得到v。 4. 第二次调用该函数，从v出发，得到最远距离s。 5. 计算s*(s+21)//2，输出结果。 例如，邻接表的结构可以用一个字典或者列表，每个节点存储其相邻节点及对应的距离。比如，用Python的话，可以用一个字典，键是节点编号，值是一个列表，每个元素是（相邻节点， 距离）。 比如，对于样例输入： n=5，边是： 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4 邻接表会是： { 1: [(2, 2), (3, 1)], 2: [(1, 2), (4,5), (5,4)], 3: [(1,1)], 4: [(2,5)], 5: [(2,4)] } 然后，第一次BFS从节点1出发，找到最远节点。比如，节点1到4的距离是2+5=7，到5是2+4=6，到3是1。所以最远的是4，距离7。然后从4出发，BFS得到最远的节点是5，距离5→2→5的路径？或者4→2→5的距离是5+4=9？所以最大距离是9。此时s=9，总费用是9*30//2=135，符合样例。 所以在代码中，如何正确计算最远距离？ BFS的实现需要注意，每次找到距离最远的点。可以用一个队列，记录每个节点和当前累计的距离。每次访问一个节点时，遍历其邻接节点，如果没有被访问过，则更新距离，并记录最大值。 或者可以用DFS的方式，递归遍历，但需要注意避免重复访问父节点。例如，在DFS过程中，记录父节点，防止回头。 例如，函数可以这样设计： def bfs(start): max_dist = 0 far_node = start visited = {start: 0} queue = deque() queue.append( (start, 0, -1) ) # current node, current distance, parent while queue: node, dist, parent = queue.popleft() for neighbor, weight in adj[node]: if neighbor != parent: new_dist = dist + weight if new_dist > max_dist: max_dist = new_dist far_node = neighbor queue.append( (neighbor, new_dist, node) ) return far_node, max_dist 或者，可能更高效的是使用一个字典来记录每个节点的距离。或者另一种方式，每次遍历时记录当前节点的距离。或者可能BFS的方式需要逐层遍历，但这里需要的是找到单源最长路径，所以可能需要将队列中的元素按顺序处理，并记录每个节点的最大距离。 或者采用DFS的非递归方式： def dfs(start): stack = [ (start, 0, -1) ] max_dist = 0 far_node = start while stack: node, dist, parent = stack.pop() if dist > max_dist: max_dist = dist far_node = node for neighbor, weight in adj[node]: if neighbor != parent: stack.append( (neighbor, dist + weight, node) ) return far_node, max_dist 这可能更节省空间，因为DFS通常更适用于树结构，不会出现循环。在这里，因为树是无环的，所以不需要visited数组，只要记住parent节点即可。 所以，在Python代码中，可以用两次DFS或者两次BFS。比如，第一次从节点1开始，找到最远的节点u，然后从u开始找到最远的节点v，得到的距离就是树的直径。 现在编写代码的大致步骤： 读取n，然后读取n-1行，构建邻接表。然后，第一次DFS找到u，第二次从u出发找到v，得到最大距离s，最后计算s*(s+21)//2。 比如，样例中的第一次DFS从1开始，找到u=4，距离7。第二次从4出发，找到最远的是5，距离是5+4=9。或者可能路径是4→2→1→3，总距离5+2+1=8，或者4→2→5，总5+4=9，所以最大是9。所以s=9，费用135。 现在需要考虑树的直径的正确性。两次DFS/BFS确实可以得到正确的直径。 接下来，代码的具体实现： 测试样例是否正确？ 在Python中，可以使用collections.defaultdict来构建邻接表，或者用字典。例如： import sys from sys import stdin from collections import deque def main(): n = int(stdin.readline()) adj = [[] for _ in range(n+1)] # nodes are 1-based for _ in range(n-1): a, b, c = map(int, stdin.readline().split()) adj[a].append( (b, c) ) adj[b].append( (a, c) ) def bfs(start): max_dist = 0 far_node = start visited = {start: 0} queue = deque() queue.append( (start, 0) ) while queue: node, dist = queue.popleft() for neighbor, weight in adj[node]: if neighbor not in visited: new_dist = dist + weight visited[neighbor] = new_dist queue.append( (neighbor, new_dist) ) if new_dist > max_dist: max_dist = new_dist far_node = neighbor return far_node, max_dist # 第一次BFS找最远点 u, _ = bfs(1) # 第二次BFS找最大距离 v, s = bfs(u) print(s * (s + 21) // 2) 或者可能这个BFS函数有问题，因为visited会在第一次调用时被覆盖。比如，在第一次BFS(1)中，可能找到u，但第二次BFS(u)是否能正确计算距离？ 或者，上面的BFS函数有问题，因为每次调用BFS时，visited会被重新初始化。这可能没问题，因为每次BFS都是重新开始的。 不过，可能上述的BFS函数有问题。比如，假设当处理到某个节点时，如果邻居已经被访问过，就不再处理。这可能导致无法正确计算最长路径。例如，在树的结构中，每个节点只能被访问一次，所以BFS的方式是否正确？ 比如，假设树的结构是A-B-C。第一次从A出发，BFS会访问B，然后从B访问C。距离分别是AB的距离，BC的距离。此时，最远节点是C，距离AB+BC。第二次从C出发，BFS会访问B，然后A，但最远节点是A吗？或者这时候可能无法正确找到距离？ 比如，当BFS从C出发，首先访问B，距离是BC的长度。然后B的邻居是C和A。由于C已经被访问过（在visited中），所以不会再处理C。然后处理A，距离是 BC + BA，即总长度。所以BFS函数应该能正确计算最长路径。因为在树中，路径是唯一的，所以只要记录每个节点的距离即可。所以这个BFS函数是正确的？ 或者是否应该使用DFS更合适？ 比如，测试样例中的情况： 第一次BFS(1)，队列处理如下： 初始队列是(1,0)，visited={1:0}。 取出1，处理邻居2和3。 对于2，未访问，距离0+2=2。加入队列。此时max_dist=2，far_node=2。然后处理3，距离0+1=1，加入队列。max_dist保持2。 然后队列中的元素是2和3。先处理2。2的邻居是1（已访问）、4、5。处理4，距离2+5=7，加入队列，max_dist=7，far_node=4。处理5，距离2+4=6，加入队列。此时far_node=4，max_dist=7。 接着处理3，距离1。没有未访问的邻居（除了父节点1）。队列后续处理4和5。处理4时，它的邻居是2（已访问），所以结束。处理5时，邻居是2（已访问）。所以最终返回的是far_node=4，max_dist=7。第一次调用得到u=4，距离7。 第二次调用bfs(4)： 初始队列(4,0)。visited={4:0}。 处理4的邻居是2。2未访问，距离0+5=5。加入队列，max_dist=5，far_node=2。然后处理队列中的2。2的邻居是4（已访问）、1、5。处理1，距离5+2=7。加入队列，max_dist=7，far_node=1。处理5，距离5+4=9，加入队列，max_dist=9，far_node=5。接着处理队列中的1。邻居是2（已访问）和3。处理3，距离7+1=8。加入队列，max_dist=9。处理队列中的5，其邻居是2（已访问），所以无新节点。最后返回far_node=5，max_dist=9。所以s=9，费用是9*30//2=135。符合样例。 这说明上述的BFS函数是正确的。 那代码的正确性可能没问题。那现在需要考虑的是，当n很大时，BFS的时间复杂度是否足够。因为每个BFS的时间是O(n)，两次BFS是O(n)的时间，对于蓝桥杯的题目来说，应该是可以接受的。 综上所述，解题思路是正确的，代码实现的关键是正确构建邻接表，并通过两次BFS求出树的直径，最后计算结果。</think>### 蓝桥杯“大臣的旅费”解题思路 #### 问题分析 题目要求计算大臣从城市A到城市B的最大路费。路费计算公式为：若路径总长度为$s$，则费用为$\sum_{k=1}^{s} (10 + k) = \frac{s(s + 21)}{2}$[^3]。因此，问题转化为求树结构中的最长路径（即树的直径）。 #### 算法实现 1. **构建邻接表** 用邻接表存储城市之间的连接关系和距离。例如，输入边`(a, b, c)`时，需双向存储到邻接表中： ```python adj = [[] for _ in range(n+1)] for _ in range(n-1): a, b, c = map(int, input().split()) adj[a].append((b, c)) adj[b].append((a, c)) ``` 2. **两次BFS/DFS求树的直径** - **第一次遍历**：从任意节点出发（如首都1），找到距离最远的节点$u$。 - **第二次遍历**：从$u$出发，找到距离最远的节点$v$，此时$u$到$v$的路径长度即为树的直径$s$。 3. **计算路费** 根据公式$\frac{s(s + 21)}{2}$计算结果。 #### 代码实现 ```python from collections import deque def main(): n = int(input()) adj = [[] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n - 1): a, b, c = map(int, input().split()) adj[a].append((b, c)) adj[b].append((a, c)) def bfs(start): visited = {start: 0} queue = deque([(start, 0)]) max_dist, far_node = 0, start while queue: node, dist = queue.popleft() for neighbor, weight in adj[node]: if neighbor not in visited: new_dist = dist + weight visited[neighbor] = new_dist queue.append((neighbor, new_dist)) if new_dist > max_dist: max_dist = new_dist far_node = neighbor return far_node, max_dist u, _ = bfs(1) v, s = bfs(u) print(s * (s + 21) // 2) if __name__ == "__main__": main() ``` #### 代码说明 1. **邻接表构建**：使用列表存储每个节点的相邻节点及距离。 2. **BFS遍历**：通过广度优先搜索计算最长路径。第一次BFS找到最远节点$u$，第二次从$u$出发找到直径长度$s$。 3. **时间复杂度**：两次BFS的时间复杂度均为$O(n)$，整体复杂度为$O(n)$，适用于大规模数据。 #### 示例验证 样例输入： ``` 5 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4 ``` 输出为`135`，与题目一致。 ---