力扣整数替换dfs

<think>好的，我需要帮助用户找到LeetCode上整数替换问题的DFS解法。首先，我得回忆一下这个问题的大致内容。整数替换问题通常是给定一个正整数n，通过特定的操作将其变为1，求最小的操作次数。可能的操作包括如果n是偶数，则除以2；如果n是奇数，可以选择加1或减1。用户需要的是深度优先搜索（DFS）的解法。 首先，我应该确认题目编号。用户提到的是“整数替换”，对应的LeetCode题目应该是第397题。题目要求找到将给定整数n转换为1所需的最小替换次数。例如，当n为8时，需要3次操作（8→4→2→1），而n为7时，有两种可能路径：7→8→4→2→1（4步）或者7→6→3→2→1（4步），所以答案是4。 接下来，我需要考虑DFS解法的基本思路。DFS通常通过递归遍历所有可能的路径，选择其中最短的。对于每个奇数，有两种选择：加1或减1。而对于偶数，只有一种选择。因此，递归函数需要处理这两种情况。 但是，直接使用DFS可能会遇到重复计算的问题，尤其是当n较大时，会导致栈溢出或时间超限。这时候需要考虑记忆化（Memoization）来优化，存储已经计算过的n的最小步数，避免重复计算。 然后，我需要参考用户提供的引用内容。例如，引用[1]中的组合问题使用了DFS，并处理了路径的压入和弹出，这对理解递归回溯有帮助。引用[3]提到了DFS中的Base Case，这里可能是指当n=1时，返回0步，因为已经达到目标。其他引用如子集和括号生成的问题，虽然具体问题不同，但DFS的结构可能有相似之处，比如递归终止条件和状态传递。 接下来，我需要构建递归函数的框架。函数可能接受当前数值current和已用步数steps作为参数，返回从current到1的最小步数。对于current=1，返回steps。如果current是偶数，只能除以2，递归调用current/2，steps+1。如果是奇数，则有两种选择，加1或减1，分别递归调用，并取两者的最小值加上当前步骤。同时，为了优化，需要使用哈希表或字典来保存已经计算过的current对应的最小步数，避免重复计算。 需要注意，当current为1时，递归终止。另外，对于较大的n，比如2^30，递归深度可能会导致栈溢出，所以可能需要迭代DFS或者使用备忘录来减少递归深度。不过，在LeetCode上，通常合理的优化可以通过记忆化来通过测试用例。 然后，我需要考虑边界情况，比如n=1时，直接返回0；n=2时，1步（2→1）。对于n=3，有两种路径：3→2→1（2步）或3→4→2→1（3步），所以最小值是2。测试这些情况可以验证代码的正确性。 现在，编写代码的大致结构。使用Python的话，可以定义一个带有记忆化的递归函数。例如： memo = {} def dfs(current): if current == 1: return 0 if current in memo: return memo[current] if current % 2 == 0: res = dfs(current // 2) + 1 else: res = min(dfs(current + 1), dfs(current - 1)) + 1 memo[current] = res return res 然后返回dfs(n)的结果。不过，对于current+1的情况，当current是较大的奇数时，比如2^31-1，加1会导致溢出，但在Python中整数大小不受限制，所以这可能不是问题。不过，在LeetCode的测试用例中，可能需要处理这种情况，但通常题目会保证输入的合法性。 不过，这样的递归在遇到大数时，比如n=1000000，会导致大量的递归调用，可能会超时。因此，需要进一步优化。例如，当current是奇数时，current+1或current-1中的一个会是偶数，而偶数的情况会立即被除以2，所以可以进一步优化递归步骤。例如，对于奇数current，比较dfs((current+1)//2)和dfs((current-1)//2)，然后取较小的那个，再加2步（因为current→current±1→(current±1)/2）。这样可以减少递归的深度。 例如，对于奇数current，计算min(dfs((current + 1) // 2) + 2, dfs((current - 1) // 2) + 2)。这样可以将两步合并，减少递归次数。这是因为current±1后变成偶数，下一步必然除以2，所以两步可以合并为一个操作。例如，current是7的话，7→8→4是两步，或者7→6→3也是两步。这样处理可以减少递归调用的次数，提高效率。 因此，优化后的递归函数可能如下： memo = {} def dfs(current): if current == 1: return 0 if current in memo: return memo[current] if current % 2 == 0: res = dfs(current // 2) + 1 else: res = min(dfs((current + 1) // 2), dfs((current - 1) // 2)) + 2 memo[current] = res return res 这种优化可以显著减少递归的次数，特别是对于较大的current值。例如，当current是较大的奇数时，避免了两次递归调用，而是直接处理到下一步的偶数情况。 再测试一下n=3的情况：3是奇数，进入else分支，(3+1)/2=2和(3-1)/2=1。计算dfs(2)和dfs(1)。dfs(2)返回1（2→1），dfs(1)返回0。所以min(1,0)=0，加上2，得到2，正确。 另一个测试案例n=7：进入else分支，(7+1)/2=4和(7-1)/2=3。dfs(4)需要2步（4→2→1），dfs(3)需要2步（如上述）。所以min(2,2)=2，加上2，得到4，正确。 这样优化后，应该能处理更大的数值而不会超时。同时，使用记忆化存储中间结果，避免重复计算。 总结，DFS解法的关键在于递归处理每个步骤，并通过记忆化优化重复子问题。对于奇数情况，合并两步操作可以减少递归深度，提高效率。需要注意递归终止条件和边界情况的处理，如n=1时返回0。</think>### LeetCode 397. 整数替换（DFS解法） **问题描述** 给定一个正整数 $n$，通过以下操作将其变为 1，求最小操作次数： - 若 $n$ 是偶数，则用 $n/2$ 替换 $n$ - 若 $n$ 是奇数，则可用 $n+1$ 或 $n-1$ 替换 $n$ --- ### DFS解法思路 1. **递归终止条件** - 当 $n=1$ 时，返回操作次数 0。 2. **递归逻辑** - 若 $n$ 是偶数：直接递归处理 $n/2$，操作次数加 1。 - 若 $n$ 是奇数：分别递归处理 $n+1$ 和 $n-1$，选择更小的操作次数，并额外加 2 次操作（因为奇数的操作需要两步：$n→n±1→(n±1)/2$）。 3. **记忆化优化** - 使用哈希表存储中间结果，避免重复计算。 --- ### Python代码实现 ```python class Solution: def integerReplacement(self, n: int) -> int: memo = {} def dfs(current): if current == 1: return 0 if current in memo: return memo[current] if current % 2 == 0: res = dfs(current // 2) + 1 else: # 合并两步操作：n → n±1 → (n±1)/2，共两步 res = min(dfs((current + 1) // 2), dfs((current - 1) // 2)) + 2 memo[current] = res return res return dfs(n) ``` --- ### 关键点分析 1. **时间复杂度优化** - 记忆化避免重复计算子问题，时间复杂度从指数级降为 $O(\log n)$。 2. **奇数的合并操作** - 将奇数的两次操作（加 1/减 1，再除以 2）合并为一步，减少递归深度[^3]。 3. **边界条件处理** - 当 $n=2^{31}-1$ 时，直接递归可能导致栈溢出，但合并操作和记忆化优化能有效规避。 --- ### 示例说明 - **输入**：$n=7$ **路径**：$7→8→4→2→1$ 或 $7→6→3→2→1$ **输出**：4 - **输入**：$n=8$ **路径**：$8→4→2→1$ **输出**：3 ---