使用MATLAB的residue()命令求传递函数的展开式

极点不同的情况

考虑到这个传递函数：

分子和分母的系数矩阵分别为：

>> num = [2 5 3 6];
>> den = [1 6 11 6];

使用以下命令：

>> [r,p,k] = residue(num,den)

即可对分式进行展开，展开后有多项，每一项的分子一定是数字，而分母则为一个多项式

• r称为留数
• p称为极数
• k称为单独项

r =
   -6.0000
   -4.0000
    3.0000
p =
   -3.0000
   -2.0000
   -1.0000
k =
     2

命令residue还能用来根据分式展开式得到多项式，例如我们有以下传递函数的展开式：

我们使用以下命令将其写成两个多项式之比的形式：

>> clear
>> r = [-6 -4 3];
>> p = [-3 -2 -1];
>> k = 2;
>> [num1,num2] = residue(r,p,k)

num1 =

     2     5     3     6


num2 =

     1     6    11     6

结果还是不太明显，因为这只是分子和分母的系数，我们新建一个变量s来将其写成分子分母之比的形式，这样就更加的直观：

>> printsys(num1,num2,'s')
 
num/den = 
 
   2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
   -----------------------
    s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

通过对比发现，分子和分母的系数刚好与上面的矩阵匹配。

极数相等

上面的例子都是分母极数不相等的，所以分母都是一次多项式，但如果考虑到另一种情况，分母也称为特征多项式，如果这个特征多项式有重根，那么分母就不会再是一次多项式：

重复上述操作：

>> clear
>> num1 = [0 1 2 3];
>> num2 = [1 3 3 1];
>> [r,p,k] = residue(num1,num2)

r =

    1.0000
    0.0000
    2.0000


p =

   -1.0000
   -1.0000
   -1.0000


k =

     []

可以看到p的值有三个，而且都相等，说明这三个极数相等，那么分母将不再是一次多项式，而是：

得到原函数：

>> [A,B] = residue(r,p,k)

A =

     1     2     3


B =

    1.0000    3.0000    3.0000    1.0000

>> printsys(A,B,'s')
 
num/den = 
 
       s^2 + 2 s + 3
   ---------------------
   s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1