010-3D数学方阵、转置矩阵、矩阵运算及坐标系转换详解

最新推荐文章于 2025-05-18 17:06:35 发布

小宝哥Code

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分类专栏： 3D数学文章标签： 3d 矩阵算法

本文链接：https://blog.csdn.net/chenby186119/article/details/148028604

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3D数学方阵、转置矩阵、矩阵运算及坐标系转换详解

1. 方阵基础

方阵是行数等于列数的矩阵，在3D图形学中扮演着至关重要的角色，特别是在表示空间变换和坐标系转换方面。

1.1 方阵的定义与特性

方阵是一个n×n的矩阵，即具有相同的行数和列数。

cpp

// 通用方阵类模板
template <int N>
class SquareMatrix {
private:
    float elements[N][N];

public:
    // 默认构造函数：创建零矩阵
    SquareMatrix() {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                elements[i][j] = 0.0f;
            }
        }
    }
    
    // 构造单位矩阵
    static SquareMatrix<N> identity() {
        SquareMatrix<N> result;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            result.elements[i][i] = 1.0f;
        }
        return result;
    }
    
    // 访问元素
    float& operator()(int row, int col) {
        return elements[row][col];
    }
    
    float operator()(int row, int col) const {
        return elements[row][col];
    }
    
    // 打印矩阵
    void print() const {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                std::cout << elements[i][j] << "\t";
            }
            std::cout << std::endl;
        }
    }
};

// 常用的3D方阵类型定义
using Matrix2x2 = SquareMatrix<2>;
using Matrix3x3 = SquareMatrix<3>;
using Matrix4x4 = SquareMatrix<4>;

1.2 方阵的特殊类型

在3D图形学中，最常用的方阵有以下几种特殊类型：

1.2.1 单位矩阵（Identity Matrix）

对角线元素为1，其他元素为0的方阵。它是矩阵乘法的单位元素，任何矩阵与单位矩阵相乘保持不变。

cpp

// 创建单位矩阵
template <int N>
SquareMatrix<N> createIdentityMatrix() {
    return SquareMatrix<N>::identity();
}

// 检查是否为单位矩阵
template <int N>
bool isIdentityMatrix(const SquareMatrix<N>& matrix, float epsilon = 1e-5f) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            float expected = (i == j) ? 1.0f : 0.0f;
            if (fabs(matrix(i, j) - expected) > epsilon) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

1.2.2 对角矩阵（Diagonal Matrix）

只有对角线上的元素可能非零，其他元素都为0的方阵。

cpp

// 创建对角矩阵
template <int N>
SquareMatrix<N> createDiagonalMatrix(const float* diagonal) {
    SquareMatrix<N> result;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        result(i, i) = diagonal[i];
    }
    return result;
}

// 检查是否为对角矩阵
template <int N>
bool isDiagonalMatrix(const SquareMatrix<N>& matrix, float epsilon = 1e-5f) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (i != j && fabs(matrix(i, j)) > epsilon) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

1.2.3 三角矩阵（Triangular Matrix）

上三角矩阵或下三角矩阵只有对角线及以上或以下的元素可能非零。

cpp

// 检查是否为上三角矩阵
template <int N>
bool isUpperTriangular(const SquareMatrix<N>& matrix, float epsilon = 1e-5f) {
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (fabs(matrix(i, j)) > epsilon) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

// 检查是否为下三角矩阵
template <int N>
bool isLowerTriangular(const SquareMatrix<N>& matrix, float epsilon = 1e-5f) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            if (fabs(matrix(i, j)) > epsilon) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

1.2.4 正交矩阵（Orthogonal Matrix）

满足A·A^T = I的矩阵，即其转置等于其逆。在3D图形学中，旋转矩阵是正交矩阵的重要例子。

cpp

// 检查是否为正交矩阵
template <int N>
bool isOrthogonalMatrix(const SquareMatrix<N>& matrix, float epsilon = 1e-5f) {
    // 计算 M·M^T
    SquareMatrix<N> result = multiplyMatrices(matrix, transposeMatrix(matrix));
    
    // 检查结果是否接近单位矩阵
    return isIdentityMatrix(result, epsilon);
}

2. 转置矩阵

转置矩阵是将原矩阵的行与列互换得到的新矩阵。在3D图形学中，转置操作常用于各种矩阵变换。

2.1 转置矩阵的定义

对于矩阵A，其转置矩阵A^T满足A^T[i][j] = A[j][i]。

cpp

// 计算矩阵的转置
template <int M, int N>
Matrix<N, M> transposeMatrix(const Matrix<M, N>& matrix) {
    Matrix<N, M> result;
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            result(j, i) = matrix(i, j);
        }
    }
    return result;
}

// 方阵的转置
template <int N>
SquareMatrix<N> transposeMatrix(const SquareMatrix<N>& matrix) {
    SquareMatrix<N> result;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            result(j, i) = matrix(i, j);
        }
    }
    return result;
}

2.2 转置矩阵的性质

转置矩阵具有许多重要性质：

(A^T)^T = A
(A + B)^T = A^T + B^T
(AB)^T = B^T·A^T（注意乘法顺序反转）
对于正交矩阵，A^T = A^(-1)

cpp

// 验证转置的乘法性质：(AB)^T = B^T·A^T
template <int M, int N, int P>
bool verifyTransposeMultiplicationProperty(const Matrix<M, N>& A, const Matrix<N, P>& B) {
    Matrix<M, P> AB = multiplyMatrices(A, B);
    Matrix<P, M> ABtranspose = transposeMatrix(AB);
    
    Matrix<P, N> Btranspose = transposeMatrix(B);
    Matrix<N, M> Atranspose = transposeMatrix(A);
    Matrix<P, M> BtAtranspose = multiplyMatrices(Btranspose, Atranspose);
    
    // 比较两个结果是否相等
    for (int i = 0; i < P; i++) {
        for (int j = 0; j < M; j++) {
            if (fabs(ABtranspose(i, j) - BtAtranspose(i, j)) > 1e-5f) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

2.3 转置在3D图形学中的应用

在3D图形学中，转置操作常用于：

计算旋转矩阵的逆（对于正交矩阵）
将法线向量从模型空间变换到世界空间（需要使用模型矩阵的逆转置）
优化某些矩阵计算

cpp

// 使用转置计算正交矩阵的逆
Matrix3x3 calculateInverseRotationMatrix(const Matrix3x3& rotationMatrix) {
    // 验证是否为正交矩阵
    if (!isOrthogonalMatrix(rotationMatrix)) {
        throw std::runtime_error("Matrix is not orthogonal");
    }
    
    // 正交矩阵的逆等于其转置
    return transposeMatrix(rotationMatrix);
}

// 计算法线变换矩阵（模型矩阵的逆转置）
Matrix3x3 calculateNormalMatrix(const Matrix4x4& modelMatrix) {
    // 提取模型矩阵的3x3部分（不包含平移）
    Matrix3x3 modelRotScale;
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            modelRotScale(i, j) = modelMatrix(i, j);
        }
    }
    
    // 计算逆矩阵
    Matrix3x3 inverse = calculateInverseMatrix(modelRotScale);
    
    // 返回逆矩阵的转置
    return transposeMatrix(inverse);
}