【第一部分：机器学习基础入门】【2.机器学习必备数学知识：线性代数、概率论与微积分】

一、线性代数：机器学习的骨架系统

1.1 向量的本质与操作

向量是机器学习中最基础的数据容器，可视为具有方向和大小的数学对象。在三维空间中，向量v=(3,2,1)表示从原点指向坐标(3,2,1)的箭头。实际应用中，用户画像向量可能包含：[年龄=25, 身高=175cm, 月消费=5000元]。

关键运算：

• 点积运算：v·w = Σ(v_i * w_i) → 相似度计算的数学基础
• 范数计算：||v|| = √(Σv_i²) → 衡量向量长度的尺子
• 余弦相似度：cosθ = (v·w)/(||v|| ||w||) → 推荐系统的核心算法

示例：比较两篇文章的词频向量
v = [12,5,9]（“算法”, “数据”, "模型"出现次数）
w = [8,7,15]
相似度得分：cosθ = (128+57+9*15)/(√(12²+5²+9²)*√(8²+7²+15²)) ≈ 0.89

1.2 矩阵：数据的关系网络

矩阵是二维数组的数学抽象，在图像处理中，一张1280x720的图片本质是包含921,600个元素的矩阵。推荐系统中，用户-商品评分矩阵是典型应用：