跳台阶 && 变态跳台阶

题目1：跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路：

对于本题,前提只有 一次 1阶或者2阶的跳法。
a.如果两种跳法，1阶或者2阶，那么假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1);
b.假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)
c.由a\b假设可以得出总跳法为: f(n) = f(n-1) + f(n-2) 
d.然后通过实际的情况可以得出：只有一阶的时候 f(1) = 1 ,只有两阶的时候可以有 f(2) = 2
e.可以发现最终得出的是一个斐波那契数列：
        
              | 1, (n=1)
f(n) =     | 2, (n=2)
              | f(n-1)+f(n-2) ,(n>2,n为整数)

代码：（递归时间长，用迭代）

public int JumpFloor(int target) {
        if (target <= 0) {
            return 0;
        }
        if (target == 1 || target == 2) {
            return target;
        }
        int result = 0;
        int pre = 1, last = 2;
        for (int i = 2; i < target; i++) {
            result = pre + last;
            pre = last;
            last = result;
        }
        return result;
    }

题目2：（变态跳台阶）

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路：

（记住当前状态是前一个状态的2倍）

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)   
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
    可以得出：
    f(n) = 2*f(n-1)
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：
              | 1       ,(n=0 ) 
f(n) =     | 1       ,(n=1 )
              | 2*f(n-1),(n>=2)

代码：

public int JumpFloorII(int target) {
    if (target <= 0) {
        return 0;
    }
    if (target == 1 || target == 2) {
        return target;
    }
    return 2 * JumpFloorII(target-1);
}

//进阶，不用递归，改成迭代

public int JumpFloorII(int target) {
    if (target <= 0) {
        return 0;
    }
    if (target == 1 || target == 2) {
        return target;
    }
    int result = 0;
    int pre = 2;
    for (int i = 0; i < target-2; i++) {
        result = pre<<1;
        pre = result;
    }
    return result;
}

//进阶，1,2,4,8, 2^n

public int JumpFloorII(int target) {
     return  1<<(--target);
}

-----------EOF-----------