【机器学习】数学知识:对数

对数是数学中一种重要的运算,它与指数密切相关。对数的主要功能是将乘法和除法转换为加法和减法,从而简化复杂的计算。以下是对数的基本概念、性质和应用。

1. 对数的定义

对数是指数的反运算。如果 a^b = c,那么 b 被称为以 a 为底的 c 的对数,记作:

b = \log_a(c)

这里:

  • a 是底数,a > 0 且 a≠1
  • c 是对数的真数,c > 0
  • b 是对数的值

2. 常用对数

常用的对数有两种:

  • 自然对数:以 e(约等于 2.71828)为底的对数,记作 ln(x)。
  • 常用对数:以 10 为底的对数,记作 log(x)。

3. 对数的性质

对数具有以下重要性质:

(1).乘法法则
公式:

\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y

推导:
  1. 假设 \log_b x = M\log_b y = N,则根据对数定义:

                                                           b^M = x \quad 和 b^N = y
  2. 将两式相乘:

                                                            b^M \cdot b^N = x \cdot y
  3. 根据指数的性质 b^M \cdot b^N = b^{M+N},可以写为:

                                                              b^{M+N} = x \cdot y
  4. 两边取以 b 为底的对数:

                                                        \log_b (x \cdot y) = M + N
  5. 代入 M = \log_b xN = \log_b y,得到:

                                                 
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