【机器学习】数学知识：对数

对数是数学中一种重要的运算，它与指数密切相关。对数的主要功能是将乘法和除法转换为加法和减法，从而简化复杂的计算。以下是对数的基本概念、性质和应用。

1. 对数的定义

对数是指数的反运算。如果 ，那么 b 被称为以 a 为底的 c 的对数，记作：

这里：

• a 是底数，a > 0 且 a≠1
• c 是对数的真数，c > 0
• b 是对数的值

2. 常用对数

常用的对数有两种：

• 自然对数：以 e（约等于 2.71828）为底的对数，记作 ln(x)。
• 常用对数：以 10 为底的对数，记作 log(x)。

3. 对数的性质

对数具有以下重要性质：

(1).乘法法则

公式：

推导：

1. 假设 和 ，则根据对数定义：
   
                                                           和 
2. 将两式相乘：
   
                                                           
3. 根据指数的性质 ，可以写为：
   
                                                             
4. 两边取以 b 为底的对数：
   
                                                       
5. 代入 和 ，得到：