《Python机器学习基础教程》第二章监督学习2.9 深度解析：朴素贝叶斯分类器——从原理到应用的全面指南

2.9 深度解析：朴素贝叶斯分类器——从原理到应用的全面指南

目录

• 2.9 朴素贝叶斯分类器
  • 2.9.1 朴素贝叶斯分类器原理
  • 2.9.2 数学公式推导
  • 2.9.3 朴素贝叶斯在文本分类中的应用
  • 2.9.4 朴素贝叶斯在其他领域的应用
  • 2.9.5 代码实现示例

2.9.1 朴素贝叶斯分类器原理

朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的简单概率分类器。它通过计算给定特征条件下每个类别的后验概率来预测类别。

原理

假设我们有一个训练数据集 (D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)})，其中 (x_i) 是输入特征向量，(y_i) 是对应的类别标签。朴素贝叶斯分类器的目标是找到一个分类函数 (h(x) = \arg\max_{y} P(y|x))，使得预测值与真实值之间的误差最小化。

贝叶斯定理

贝叶斯定理定义如下：

$$P(y|x)=\frac{P(x|y)P(y)}{P(x)}$$

其中：

• (P(y|x)) 是给定特征 (x) 的条件下类别 (y) 的后验概率。
• (P(x|y)) 是给定类别 (y) 的条件下特征 (x) 的似然概率。
• (P(y)) 是类别 (y) 的先验概率。
• (P(x)) 是特征 (x) 的边缘概率。

条件独立假设

朴素贝叶斯分类器假设特征之间是条件独立的，即：

$$P(x|y)=\prod _{i=1}^{d}P(x_i|y)$$

其中 (d) 是特征的数量。

特点

• 简单易实现：朴素贝叶斯分类器非常直观且容易实现。
• 可解释性强：朴素贝叶斯分类器的结果具有很好的可解释性。
• 对小样本数据有效：朴素贝叶斯分类器在小样本数据上表现良好。
• 对异常值敏感：朴素贝叶斯分类器容易受到异常值的影响。
• 假设特征独立：朴素贝叶斯分类器假设特征之间是条件独立的，这在实际问题中可能不成立。

图解

朴素贝叶斯分类器可以用以下图示来说明：

2.9.2 数学公式推导

朴素贝叶斯分类器的目标是最大化后验概率 (P(y|x))。为了简化计算，我们通常使用对数似然函数来进行优化。

对数似然函数

对数似然函数定义如下：

$$\log P(y|x)=\log P(x|y)+\log P(y)-\log P(x)$$

由于 (\log P(x)) 在所有类别中都是常数，可以忽略不计。因此，我们可以将目标简化为最大化 (\log P(x|y) + \log P(y))。

似然概率

对于离散特征，似然概率可以通过频率估计来计算：

P ( x i ∣ y ) = count ( x i , y ) count ( y