【矩阵论笔记】线性变换的特征值和特征向量（几何重数和代数重数）

设A是n阶方阵，如果数λ\lambdaλ和n维非零列向量x满足关系式AxλxAxλx则称λ\lambdaλ为A的特征值，x为A的属于λ\lambdaλ的一个特征向量。

在接触到线性变换这个概念的时候，书本上的定义和公式总是抽象难懂；在学习PCA、SVD等与矩阵相关的算法时，特征向量的物理意义也总是让我满头雾水。在对这两个概念学习的过程中，我主要参考了居余马编著的《线性代数》一书和相关博客、百度文库等网络资源[1][2]。由于线性变换和特征向量的定义书上和博客上介绍的很多，我主要从一个matlab实例来解释线性变换与特征向量的关系。 clear %在标准正交基

几何重数是指与特定特征值λ对应的线性无关特征向量的最大数量。从另一个角度来看，几何重数等于特征值λ对应的特征空间的维数，也可以表示为矩阵(A-λI)的零空间(nullspace)的维数。

线性空间与线性变换综述1.2 线性变换及其矩阵1.2.3 特征值与特征向量 综述 本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。 1.2 线性变换及其矩阵 1.2.3 特征值与特征向量 本节讨论如何选择线性空间的基，使得线性变换在该组基下的矩阵表示最简单。 ...

前情提要： ， 是 的一个基，则 是子空间在（1）下的矩阵为对角阵 特征值与特征向量 1.定义： ，若 ，则称为的一个特征值,为的属于特征值的一个特征向量 例一： 一定有特征值k，中任一非零向量都是属于k的特征向量 例二： 无特征值 2.性质： 1）一个特征向量只属于一个特征值，一个特征值可对于无穷多个特征向量 2） 为的特征值，可逆，则为 的特征值 3）为的特征值， ， 为 的一个特征值 4）生成一维子空间是的特征向量 5） 是子空...

笔者是一个数学系的在读本科生，若是文章中有纰漏，欢迎指出。本篇笔记仅供交流学习。在正式开始本篇笔记之前，按照惯例，还是先推荐你观看3Blue1Brown的线性代数的本质（Essense of Linear Algebra）系列在特征值与特征向量这一主题下的视频：特征向量与特征值​www.bilibili.com特征值与特征向量一、特征值和特征向量的定义特征值_百度百科上如此定义特征值：特征值是线性...

先占位置，有时间再写。

赠人玫瑰，手留余香，我们将所有的笔记开源，希望在自己学习的同时，也对大家学习掌握《麻省理工公开课：线性代数》有所帮助。MLNLP社区在Github上最新发布了一套MIT线性代数课程Linear Algebra的学习笔记，目前已获得1600star。项目地址：https://github.com/MLNLP-World/MIT-Linear-Algebra-Notes。以下是第一集《方程组的几何解释》的部分笔记内容，更多内容可以前往项目查看。【第8集】求解Ax=b：可解性和解的结构。...

开始复习 AI 算法的基础–数学部分，主要是三方面的内容： 线性代数 概率论 微积分 参考内容如下： 《深度学习》 https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions https://github.com/sladesha/Reflection_Summary 本文是第一篇，线性代数部分的内容，主要是比较基础部分的学习笔记。 1. 线性代数 1.1 向量和矩阵 1.1.1 标量、向量、矩阵、张量之间的联系 标量（scalar） 一个标量表示一

1. 线性变换可以用以下公式表示: T(x) = Ax 2. 矩阵A的特征值与特征向量 Ax = (lambda)x

一、特征值与特征向量   利用特征值与特征向量，可以把线性变换表达成简单而易于想象的形式。 1.1 特征值与特征向量   设A\bm{A}A是数域FFF上的nnn阶方阵，如果有数λ∈F\lambda \in Fλ∈F及FFF上的nnn维列向量X=(x1,...,xn)T≠0\bm{X} = (x_1, ..., x_n)^T \ne \bm{0}X=(x1​,...,xn​)T​=0，使得AX=λX\bm{AX} = \lambda\bm{X}AX=λX成立，则称λ\lambdaλ是A\bm{A}A的一个

都说矩阵其实就是线性映射，你明白不？反正一开始我是不明白的；   线性映射用矩阵表示：（很好明白的） 有两个线性空间，分别为V1与V2， V1的一组基表示为，V2的一组基表示为；（注意哦，维度可以不一样啊，反正就是线性空间啊）， 1， 现在呢，有一个从V1到V2的映射F， 它可以把V1中的一组基都映射到线性空间V2中去，所以有：                        用矩阵可以表示为：...

§4§ 4§4 特征值与特征向量 我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基, 使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要讨论, 在适当地选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念,它们对于线性变换的研究具有基本的重要性. 定义 4 设 AAA 是数域 PPP 上线性空间 VVV 的一个线性变换, 如果对于数域 PPP 中一数

首先，恭喜你读到了咪博士的这篇文章。本文可以说是该系列最重要、最核心的文章。你对线性代数的一切困惑，根源就在于没有真正理解矩阵到底是什么。读完咪博士的这篇文章，你一定会有一种醍醐灌顶、豁然开朗的感觉！ 咱们先来说说啥叫变换。本质上，变换就是函数。 例如，你输入一个向量 [57]， 经过某个变换（即函数）的作用之后，输出另一个向量 [2−3] 既然，变换本质上就是函数，那为啥

由上面的知识，特征值0的代数重数等于几何重数，特征值1的代数重数也等于几何重数，故幂等矩阵一定可以相似对角化。实对称矩阵（n个正交的特征向量）、幂等矩阵（证明见后文）必然可以相似对角化。首先注意，代数重数与几何重数的概念，都是针对某一个特征值。不同特征值对应的特征子空间的交为{0}，幂等矩阵的特征值只可能为0和1（由。的特征值与特征向量满足。（其维数=代数重数，