**自反律**、**增广律** 和 **传递律** 是函数依赖推理的基本规则

在数据库规范化理论中，函数依赖的推理规则是用于推导和验证函数依赖关系的基本规则。这些规则由 Armstrong 提出，因此也称为 Armstrong 公理。以下是三条基本的推理规则：

1. 自反律（Reflexivity Rule）

如果 ( Y \subseteq X )，则 ( X \rightarrow Y )。

• 解释：任何属性集 ( X ) 都函数决定其子集 ( Y )。
• 示例：
  设 ( X = {A, B} )，( Y = {A} )，则 ( {A, B} \rightarrow {A} )。

2. 增广律（Augmentation Rule）

如果 ( X \rightarrow Y )，则 ( XZ \rightarrow YZ )。

• 解释：在函数依赖的两边同时增加相同的属性集 ( Z )，函数依赖关系仍然成立。
• 示例：
  设 ( X = {A} )，( Y = {B} )，( Z = {C} )，如果 ( {A} \rightarrow {B} )，则 ( {A, C} \rightarrow {B, C} )。

3. 传递律（Transitivity Rule）

如果 ( X \rightarrow Y ) 且 ( Y \rightarrow Z )，则 ( X \rightarrow Z )。

• 解释：如果 ( X ) 函数决定 ( Y )，且 ( Y ) 函数决定 ( Z )，则 ( X ) 函数决定 ( Z )。
• 示例：
  设 ( X = {A} )，( Y = {B} )，( Z = {C} )，如果 ( {A} \rightarrow {B} ) 且 ( {B} \rightarrow {C} )，则 ( {A} \rightarrow {C} )。

其他推论规则

除了上述三条基本规则外，还可以推导出以下常用规则：

1. 合并律（Union Rule）

如果 ( X \rightarrow Y ) 且 ( X \rightarrow Z )，则 ( X \rightarrow YZ )。

• 解释：如果 ( X ) 函数决定 ( Y ) 和 ( Z )，则 ( X ) 函数决定 ( Y ) 和 ( Z ) 的并集。
• 示例：
  设 ( X = {A} )，( Y = {B} )，( Z = {C} )，如果 ( {A} \rightarrow {B} ) 且 ( {A} \rightarrow {C} )，则 ( {A} \rightarrow {B, C} )。

2. 分解律（Decomposition Rule）

如果 ( X \rightarrow YZ )，则 ( X \rightarrow Y ) 且 ( X \rightarrow Z )。

• 解释：如果 ( X ) 函数决定 ( Y ) 和 ( Z ) 的并集，则 ( X ) 函数决定 ( Y ) 和 ( Z ) 分别。
• 示例：
  设 ( X = {A} )，( Y = {B} )，( Z = {C} )，如果 ( {A} \rightarrow {B, C} )，则 ( {A} \rightarrow {B} ) 且 ( {A} \rightarrow {C} )。

3. 伪传递律（Pseudotransitivity Rule）

如果 ( X \rightarrow Y ) 且 ( YZ \rightarrow W )，则 ( XZ \rightarrow W )。

• 解释：如果 ( X ) 函数决定 ( Y )，且 ( Y ) 和 ( Z ) 一起函数决定 ( W )，则 ( X ) 和 ( Z ) 一起函数决定 ( W )。
• 示例：
  设 ( X = {A} )，( Y = {B} )，( Z = {C} )，( W = {D} )，如果 ( {A} \rightarrow {B} ) 且 ( {B, C} \rightarrow {D} )，则 ( {A, C} \rightarrow {D} )。

总结

• 自反律、增广律 和 传递律 是函数依赖推理的基本规则。
• 通过这些规则，可以推导出其他有用的推论规则，如合并律、分解律和伪传递律。
• 这些规则在数据库规范化过程中非常重要，用于验证和推导函数依赖关系，从而设计出更高效、更规范的数据库结构。

理解并熟练运用这些规则，有助于解决数据库设计中的复杂依赖问题。

总结思考步骤：

1. 确认三条规则的正确描述，注意传递律的正确形式。
2. 用简明的中文解释每条规则，并举例说明。
3. 提及公理系统的有效性和完备性。
4. 正确应用LaTeX格式，检查数学表达式的正确性。
5. 生成相关问题，促进用户深入学习。

数据库中函数依赖的Armstrong公理系统

Armstrong公理系统是关系数据库理论中推导函数依赖的核心工具，包含三条基本推理规则。这些规则具有有效性（推导结果正确）和完备性（所有函数依赖均可被推导），为数据库模式分解和规范化提供了理论基础。

三条推理规则

1. 自反律（Reflexivity）
   若属性集$Y\subseteq X\subseteq U$，则$X\to Y$必然成立。
   示例：若 X = { 学号 , 姓名 } X = \{学号, 姓名\} X={学号,姓名}， Y = { 姓名 } Y = \{姓名\} Y={姓名}，则$X\to Y$成立。

2. 增广律（Augmentation）
   若$X\to Y$成立，且$Z\subseteq U$，则$XZ\to YZ$也成立。
   示例：若 X = { 学号 } X = \{学号\} X={学号}能确定 Y = { 姓名 } Y = \{姓名\} Y={姓名}，则添加 Z = { 课程号 } Z = \{课程号\} Z={课程号}后， { 学号 , 课程号 } → { 姓名 , 课程号 } \{学号, 课程号\} \to \{姓名, 课程号\} {学号,课程号}→{姓名,课程号}成立。

3. 传递律（Transitivity）
   若$X\to Y$和$Y\to Z$均成立，则$X\to Z$成立。
   示例：若 { 学号 } → { 班级 } \{学号\} \to \{班级\} {学号}→{班级}且 { 班级 } → { 班主任 } \{班级\} \to \{班主任\} {班级}→{班主任}，则 { 学号 } → { 班主任 } \{学号\} \to \{班主任\} {学号}→{班主任}。

属性集闭包

为判断$X\to Y$是否能从函数依赖集$F$中推导，可计算属性集$X$关于$F$的闭包$X^{+}$（即通过公理系统能从$X$推出的所有属性）。例如，若 F = { A → B , B → C } F = \{A \to B, B \to C\} F={A→B,B→C}，则 A + = { A , B , C } A^+ = \{A, B, C\} A+={A,B,C}，因此$A\to C$成立。