【FinE】mean-CVaR计算

VaR

定义$\Psi (x,\alpha )$表示$f(x,y)$不超过阈值$\alpha$的概率
$$\Psi (x,\alpha )={\int }_{f(x,y)\le \alpha }p(y)dy$$
固定$x$，在${\mathbb{R}}^n$进行积分计算，$\Psi (x,\alpha )$是一个关于$\alpha$的函数，表示权重$x$下的损失的累积分布函数(cumulative distribution function). 该函数也是定义VaR和CVaR的基础，且函数关于$\alpha$是连续的.
设置置信水平$\beta$，可以将$\alpha$看做函数$\alpha (x,\beta )$，根据VaR的定义

VaR is defined as the lowest value such that $\Psi (x,\alpha (x,\beta ))=\beta$.

V a R β = α β ( x ) = min ⁡ { α ∈ R : Ψ ( x , α ) ≥ β } VaR_\beta=\alpha_\beta(x)=\min\{\alpha\in R: \Psi(x, \alpha)\geq \beta\} VaRβ​=αβ​(x)=min{α∈R:Ψ(x,α)≥β}
计算VaR的Matlab Code如下

function [VaR, portVaR]=minux_VaR(returns, p, w)
% returns: 收益率矩阵
% p: 分位数
% w: 权重向量，如果为空值，那么设置为等权重
% VaR：每支股票的VaR值，存储形式为向量
% portVaR: 投资组合的VaR值

[n, m]=size(returns); % n表示时间序列长度, m表示股票的数量
VaR = zeros(m, 1);
for i =1:m
    VaR(i, 1)=quantile(returns(:, i), p);
end

if isempty(w)
    w = [(1/m)*ones(1, m)]'; % 如果传入向量为空，那么设置为等权重
end
portVaR = quantile(returns*w, p);

end

mean-CVaR

如果损失函数$f(x,y)$超过了阈值为$\alpha$值得VaR，可以计算出期望损失(expected loss)/条件在险价值，即CVaR(${\Phi }_{\beta }(x)$)如下
$${\Phi }_{\beta }(x)=\frac{1}{1-\beta }{\int }_{f(x,y)>\alpha (x,\beta )}f(x,y)$$

The presence of the VaR function in the CVaR formula makes the model complicated and difficult to handle in the minimization; therefore the approach used in this work handles with a simpler function for the CVaR expression:

$$F_{\beta }(x,\alpha )=\alpha +\frac{1}{1-\beta }{\int }_{f(x,y)>\alpha }(f(x,y)-\alpha )p(y)dy$$
在Rockafellar和Uryasev的论文中的定理1，给出了$F_{\beta }(x,\alpha )$的性质描述

Threorem 1: As a function of $\alpha$, $F_{\beta }(x,\alpha )$ is a convex and continuously differentiable. The $\beta -$CVaR of the loss associated with any $\mathbf{x}\in X$ can be determined from the formula

$${\varphi }_{\beta }(\mathbf{x})=\underset{\alpha \in \mathbf{R}}{\min }{F}_{\beta }(\mathbf{x},\alpha )$$
进而可以直接得到结论
$${\Phi }_{\beta }(x)=F_{\beta }(x,\alpha (x,\beta ))=\underset{\alpha }{\min }{F}_{\beta }(x,\alpha )$$
可以使用Linear programming的方法求解该问题，考虑有限资产的投资组合，每个资产具有有限的历史序列，从CVaR和VaR的随机概率规划的本质可以看出，资产序列的未来收益率(future returns)需要计算，假设future returns遵循特定分布(这是一个很强的假设, assuming that the future returns will follow a specific distribution) $p(y)$，可以从该假设分布中抽样出有限个scenarios $y_j,j=1,\dots ,J$，根据以上假设，可以推导出如下近似方程
$$\begin{gathered} {\tilde{F}}_{\beta }(x,\alpha )=\alpha +\nu \sum _{j=1}^J(f(x,y_j)-\alpha {)}^{+} \\ \nu =\frac{1}{(1-\beta )J} \end{gathered}$$
可以使用LP求解，令辅助变量$z_j$替换$(f(x,y_j)-\alpha {)}^{+}$，可以得到最小CVaR¹
$$\begin{gathered} \min \alpha +\nu \sum _{j=1}^J{z}_j \\ s.t.\{\begin{array}{l}x\in X\\ z_j\ge f(x,y_j)-\alpha \\ z_j\ge 0\end{array} \end{gathered}$$
可以对投资权重加上upper-lower限制，Matlab Code如下

function [CVaR, w]=minux_CVaR(returns, Er, beta, Ub, Lb)
    % Input parameters
    % returns表示资产收益率矩阵
    % Er为目标收益率
    % beta为置信水平，一般设置在0.9~1之间
    % Ub: upper bound for each stock weight
    % Lb: lower bound for each stock weight
    
    % Output
    % CVaR: the conditional value at risk for the portfolio
    % w: the optimal portfolio weight
    
    [n, m] = size(returns); % n表示收益率序列的长度, m表示资产的数量
    w0 = [(1/m) *ones(1, m)]; % 初始权重设置，为等权重(1/N)
    VaR = quantile(returns*w0', beta); % 在险价值，作为CVaR中的参数
    w0 = [w0 VaR];
    
    % 设置目标函数(objective function), 根据CVaR方程得到
    j = 1:m;
    obj = @(w) w(m+1)+(1/n)*1/(1-beta)*sum(max(-w(j)*returns(:, j)'-w(m+1), 0));
    
    if isempty(Er), isempty(Ub), isempty(Lb) % 如果目标收益率和权重约束不存在
        Aeq = [ones(1, m) 0]; % 和约束方程 Aeq*w=beq相符合
        beq = [1];
        
        % solve
        [w, CVaR] = fmincon(obj, w0, [], [], Aeq, beq);
    else % 存在目标收益率和权重约束
        A=[-mean(returns) 0; -eye(m) zeros(m, 1); eye(m) zeros(m, 1)];
        b = [-Er -Lb*ones(1, m) Ub*ones(1, m)]';
        Aeq = [ones(1, m) 0];
        beq = [1];
        
        % solve
        [w, CVaR]=fmincon(obj, w0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, []);
    end
end

调用函数编写如下

%% VaR函数测试
% 数据载入
load CAPMuniverse.mat
returns = Data(:, 1:5);
returns = fillmissing(returns, 'linear');
w =[];
[mVaR5, mPortVaR5] = minux_VaR(returns, 0.05, w);

%% CVaR函数测试
Er=mean(mean(returns), 2);
beta=0.95;
Ub = 0.8;
Lb = 0.3;
[mCVaR, mw]=minux_CVaR(returns, Er, beta, Ub, Lb);

References

Robust Portfolio Optimization using CVaR
Stable Portfolio Selection Strategy for Mean-Variance-CVaR
optimization of Conditional Value-at-Risk