【FOC进阶日记】实战篇 ② 自发电控制算法

作者 | 量子君
微信公众号 | 极客工作室

【FOC进阶日记】专栏目录
第一章 实战篇① FOC与SVPWM详解
第二章 实战篇 ② 自发电控制算法

前言

本专栏专注分享在 FOC（基于磁场定向控制的 BLDC 电机控制器）方面的学习过程和心得体会。包括 FOC 控制算法时的实验成果和代码实现，和一些电机控制方面的基础知识和实用技巧。通过这些内容的分享，希望能够帮助更多的人理解和掌握 FOC 控制算法，让大家能够更加轻松地开发和控制电机。

本章介绍了在电机相关知识的背景下，着重讲解了整流桥各类介绍，发电机公式、电压型PWM整流器及其控制和采样、无传感器位置获取、转速、坐标变换、目标值和实际值、PI控制、需要的母线电压值、坐标反变换、SVPWM控制、对应的各MOS的PWM值。循环时间、采样时间5k、中断处理、低速处理、储能控制、最低速限制、温度控制、温度补偿。

一、电机的相关知识汇总

电机（英文：Electric machinery，俗称“马达”）是指依据电磁感应定律实现电能转换或传递的一种电磁装置。电机在电路中是用字母M表示，它的主要作用是利用电能转化为机械能，产生驱动转矩；发电机在电路中用字母G表示，作为用电器或各种机械的动力源。由于电和磁存在相互转化的关系，因而电机和发电机是其两个不同的工作状态，但二者关注点不同还是存在差异。

在使用过程中，当处于电机状态时，我们更关注其前端输出的转速、转矩和机械功率；当处于发电机状态时，我们关注其后端电路输出的电压、电流及其波形。但在我们的自发电骑行台中，虽然处于发电机状态，但我们更关注发电机前端的扭矩、转速和功率大小，反而不关心后端电路的电压和波形的好坏。这是我们一个不同之处。

电机有各种不同分类方式，在实际过程中，根据习惯和使用场景大体有以下分类：

1. 按用途可划分：驱动用电动机和控制用电动机。 控制用电动机又划分：步进电动机和伺服电动机等。
2. 按工作电源种类划分：可分为直流电机和交流电机。
   ①直流电动机按结构及工作原理可划分：永磁直流电动机和电磁直流电动机。
   永磁直流电动机划分：稀土永磁直流电动机、铁氧体永磁直流电动机和铝镍钴永磁直流电动机。
   电磁直流电动机划分：串励直流电动机、并励直流电动机、他励直流电动机和复励直流电动机。
   ②其中交流电机还可划分：单相电机和三相电机。
   对于三相交流电机，一般不需要电刷结构，靠电子电路自动换向，在实际应用中三相交流电机占主流。所谓的无刷直流电机，其线圈端子有3个，接入到自带的电子换向电路或者电子换向器中，这就和三相交流电机原理类似了。真正的直流电机外部只有2个线圈端子，内部带机械电刷结构。
3. 按结构和工作原理可划分：可分为异步电动机、同步电动机。
   ①同步电机可划分：永磁同步电动机、磁阻同步电动机和磁滞同步电动机。
   ②异步电机可划分：感应电动机和交流换向器电动机。
   感应电动机可划分：三相异步电动机、单相异步电动机和罩极异步电动机等。
   交流换向器电动机可划分：单相串励电动机、交直流两用电动机和推斥电动机。
   同步电动机的转子转速与负载大小无关而始终保持与旋转磁场同步转速。异步电动机的转子转速总是略低于旋转磁场的同步转速。

在使用中，可以简单认为伺服电机的位置控制是连续的，步进电机的位置控制是不连续的。在实际过程中，伺服电机是高精度智能控制领域使用较为主流的情况。

在过去的十年甚至二十年中，伺服电机市场已经从有刷伺服转变成无刷伺服的市场，这主要是由无刷伺服的低维修率和高稳定性所决定的。其实，直流电机一般使用有刷结构，那些无刷直流必然存在电子换向电路或电子换向器，进而与交流电机原理一样。可以简单认为直流电机（2线）即为有刷电机。交流电机（3三线）即为无刷电机。这种分类只是一种直观认识，不严谨的归类方法。

• 有刷电机成本低，结构简单，启动转矩大，调速范围宽，控制容易，需要维护，但维护不方便（换碳刷），产生电磁干扰，对环境有要求。因此它可以用于对成本敏感的普通工业和民用场合。
• 无刷电机体积小，重量轻，出力大，响应快，速度高，惯量小，转动平滑，力矩稳定。控制复杂，容易实现智能化，其电子换相方式灵活，可以方波换相或正弦波换相。电机免维护，效率很高，运行温度低，电磁辐射很小，长寿命，可用于各种环境。交流无刷电机使用正弦波控制，转矩脉动小。无刷直流电机BLDCM使用梯形波，控制比较简单，便宜。

在更多的领域，同步电动机的使用比异步电动机多，因为同步电动机有重量轻，噪音小，磁场利用率高等优点。在实际情况中，可以简单认为同步电机多为永磁式的，电机的永磁转子转速和线圈定子产生的旋转磁场转速是一样的。异步电机多为电励磁式，靠交流电线圈产生的励磁，由于励磁线圈和电枢线圈中输入不同的三相电，从而存在转速差，形成异步。当然这也是一种不严谨的归类方法。

综上可知，直流大多与有刷挂钩，交流多与无刷挂钩；永磁和同步挂钩，三相励磁和异步挂钩。大体线程如下：

1. 在控制领域中，电机分为步进电机和伺服电机，高精度智能控制领域中以伺服电机为主；
2. 伺服控制电机可以分为直流（有刷）电机和交流（无刷）电机，以交流无刷电机为主；
3. 交流无刷电机包括同步交流电机和异步交流电机，永磁同步交流电机应用领域更多。

对于PMSM而言按照永磁体的安装方式，可以分为面贴式永磁电机SPMSM和内嵌式永磁电机IPMSM。面贴式永磁转子结构易于实现最优设计，使得电动机气隙磁密度波形近似于正弦波分布，性能提高，Ld = Lq。内嵌式， Ld < Lq。

三相交流电机线圈中的电频率和电机转速有固定的数学关系：

• 三相同步电机：$N_0=\frac{60f}{P}$；
• 三相异步电机：$N_0=\frac{60f(1-S)}{P}$；

其中：N0表示电动机转速，RPM；f是电动机上线圈电流的频率，Hz；P是电动机的极对数；异步电机转差率S，$S=\frac{N-N_0}{N}$，N表示电动机定子旋转磁场转速。

对于三相交流电机而言，其工作电路中必须要有三相桥式电路，而且二者是直接相连的。发电机状态时称其为整流电路，将三相交流电转换为直流电；电机状态时称其为逆变电路，将直流电转换为三相交流电。二者是可逆的过程，都是开关管控制的三相桥式电路。由于二者之间的紧密联系，导致对电机的控制转移到对三相桥式电路的开关控制从而引申出各种三相交流电机的控制方式，在下一节中详述。

以下是无刷直流电机BLDCM和永磁同步电机PMSM的比较：

二、电机的控制方式对比

任何电动机的电磁转矩都是由主磁场和电枢磁场相互作用产生的。直流电动机的主磁场和电枢磁场在空间互差90°，因此可以独立调节；有刷直流电机的力矩控制是非常简单的，因为有刷直流电机自身可完成换相工作。所输出的力矩是和有刷电机两极输入的直流电压成正比的。

力矩也可通过P-I控制回路轻松地得到控制。P-I控制回路的主要功能就是通过检测电机实际电流和控制电流之间的偏差，实时地调整电机的输入电压。

PI控制率是现代控制领域中应用最广泛的控制理论，尤其对于满足线性关系的物理量，通过引入目标差值，完成反馈控制，调节好PI参数即可使系统具有快速准确稳定的控制体现。

交流电机的主磁场和电枢磁场互不垂直，互相影响。因此，长期以来，交流电动机的转矩控制性能较差。正因如此对于交流电机，我们非常希望能够转化成直流电机的类似控制。

在交流电动机调速的发展历程中，经历了V/F恒压频比控制，矢量控制，直接转矩控制，d-q解耦控制。

2.1 恒压频比V/F控制

针对异步电机，为了保证电机磁通和出力不变 ，电机改变频率时，需维持电压V和频率F的比率近似不变，所以这种方式称为恒压频比（V/F）控制。V/F控制－控制简单,通用性强,经济性好,用于速度精度要求不十分严格或负载变动较小的场合。从本质上讲，VF控制实际上控制的是三相交流电的电压大小和频率大小，这个瞬时过程中没有对相位进行控制，所以恢复过程较慢，而且电机转速会随负载变化，这就是所谓V/F控制精度不高和响应较慢的原因。

在低于额定转速时，改变电动机给定电压的同时，也成比例的去改变电动机的转速，使电动机内部的磁通保持恒定，保持电动机转矩不变，在高于额定转速时，只是增加电动机供电频率而不去改变电压，这样电动机的磁通会减弱，转矩下降。

总体来说，V/F控制就是，低于额定频率时，是恒转矩控制，高于额定转速时，是恒功率控制，也称弱磁控制。这种控制方法简单，易于实现，一般都是开环控制，当然加上电流环和速度环也没问题。但V/F控制属于电动机在高耦合状态下控制，没有实现电动机的解耦控制，只能用于精度要求不好的场合，比如风机，泵类拖动等。

2.2 矢量控制

交流电动机本来就是一个高耦合，非线性，多变量的一个系统，控制上比较复杂。我们知道，直流电动机控制简单，控制好励磁电流和转矩电流，就可以很好的控制电机。三相交流电动机能不能像控制直流电动机那样去控制呢？这就是矢量控制方法产生的思想。自1971年德国西门子公司F．Blaschke提出矢量控制原理，对于交流电动机，该方案已成为使用最广泛的控制方案。

矢量控制实现的基本原理是通过测量和控制异步电动机定子电流矢量，根据磁场定向原理分别对异步电动机的励磁电流和转矩电流进行控制，从而达到控制异步电动机转矩的目的。具体是将异步电动机的定子电流矢量分解为产生磁场的电流分量 (励磁电流) 和产生转矩的电流分量 (转矩电流) 分别加以控制，并同时控制两分量间的幅值和相位，即控制定子电流矢量，所以称这种控制方式称为矢量控制方式。矢量控制方式又有基于转差频率控制的矢量控制方式、无速度传感器矢量控制方式和有速度传感器的矢量控制方式等。这样就可以将一台三相异步电机等效为直流电机来控制，因而获得与直流调速系统同样的静、动态性能。

矢量控制的目的是改善转矩控制性能，最终的实施是对id，iq的控制。由于定子侧的物理量都是交流量，其空间矢量在空间以同步转速旋转，因此调节、控制和计算都不方便。需借助复杂的坐标变换进行矢量控制，而且对电动机参数的依赖性很大，难以保证完全解耦，使控制效果受影响。针对矢量控制在应用过程中具有的运算复杂和非完全解耦的特性，分别发展出了直接转矩控制和前端解耦控制两种思路。

2.3 直接转矩控制

直接转矩控制是德国鲁尔大学的教授提出来的，后来日本学者也对直接转矩控制进行研究，其思路是把电机和逆变器看成一个整体，采用空间电压矢量分析方法在定子坐标系进行磁通、转矩计算，通过跟踪型PWM逆变器的开关状态直接控制转矩。该控制方案摒弃了矢量控制中解耦的控制思想及电流反馈环节，采取定子磁链定向的方法，利用离散的两点式控制直接对电动机的定子磁链和转矩进行调节，具有结构简单，转矩响应快等优点。我们控制电动机的最终还是控制电动机的转矩，直接转矩控制的控制目标就是转矩。V/F控制精度差，矢量控制需要大量复杂运算，直接转矩控制以一种新颖的控制方法，不需要大量计算，就能对电动机很好的控制。

直接转矩控制技术，是利用空间矢量、定子磁场定向的分析方法，直接在定子坐标系下分析异步电动机的数学模型，计算与控制异步电动机的磁链和转矩，采用离散的两点式调节器（Band—Band控制），把转矩检测值与转矩给定值作比较，使转矩波动限制在一定的容差范围内，容差的大小由频率调节器来控制，并产生PWM脉宽调制信号，直接对逆变器的开关状态进行控制，以获得高动态性能的转矩输出。因此，无需对定子电流进行解耦，免去矢量变换的复杂计算，控制结构简单。直接转矩控制利用定子电压和电流，或者定子电流和转速，去计算电动机的实际转矩，然后和设定的转矩比较，根据比较结果去选择需要的电压矢量，来提升或者减弱转矩，有些像滞环控制，或者bang-bang控制。

与矢量控制方式比较，直接转矩控制磁场定向所用的是定子磁链，它采用离散的电压状态和六边形磁链轨迹或近似圆形磁链轨迹的概念。只要知道定子电阻就可以把它观测出来。而矢量控制磁场定向所用的是转子磁链，观测转子磁链需要知道电动机转子电阻和电感。因此直接转矩控制大大减少了矢量控制技术中控制性能易受参数变化影响的问题。直接转矩控制强调的是转矩的直接控制与效果。与矢量控制方法不同，它不是通过控制电流、磁链等量来间接控制转矩，而是把转矩直接作为被控量，对转矩的直接控制或直接控制转矩，既直接又简化。

虽然，对直接转矩控制的研究已取得了很大的进展，但在理论和实践上还不够成熟，例如：低速性能、带负载能力等，而且它对实时性要求高，计算量大。至于ABB的直接转矩控制，世界上独此一家。

2.4 dq前馈解耦控制

永磁同步电动机数学模型经坐标变换后，id，iq之间仍存在耦合，不能实现对id和iq的独立调节。若想使永磁同步电动机获得良好的动、静态性能，就必须解决id，iq的解耦问题。若id恒为0，则可简化永磁同步电动机的状态方程。此时，id与iq无耦合关系，转矩$T_e=n_p{\psi }_f\cdot i_q$，独立调节iq可实现转矩的线性化。实现id恒为0的解耦控制，可采用电压型解耦和电流型解耦。前者是一种完全解耦控制方案，可用于对id，iq的完全解耦，但实现较为复杂；后者是一种近似解耦控制方案，控制原理是：适当选取id环电流调节器的参数，使其具有相当的增益，并始终使控制器的参考输入指令id*=O，可得到id≈id*=0，iq≈iq*，这样就获得了永磁同步电动机的近似解耦。

虽然电流型解耦控制方案不能完全解耦，但仍是一种行之有效的控制方法，只要采取较好的处理方式，也能得到高精度的转矩控制。因此，工程上使用电流型解耦控制方案的较多。然而，电流型解耦控制只能实现电动机电流和转速的静态解耦，若实现动态耦合会影响电动机的控制精度。另外，电流型解耦控制通过使耦合项中的一项保持不变，会引入一个滞后的功率因数。

三、永磁同步电机控制理论

通过第二节中对于电机控制的各种方法，整合其控制思想形成一种综合型的控制方法。仍依托于矢量控制的解耦思想，使用电流型前馈解耦控制方案（id=0，转矩最大），以转子磁场定向为原则，引入坐标变换(Clarke和Park)，分别对主磁通id和电机转矩iq独立控制，并将电动机和逆变器看成一个整体，将电流矢量控制转化为采用空间电压矢量脉宽调制(SVPWM)，通过控制PWM逆变器开关实现对电机的转矩控制。

• 对于电动机控制，我们关心的是转矩、转速以及功率输出，三者之间是相互关联的。为提高电机性能，使得转矩最大，通常采用目标id=0，并iq电流内环PI控制，位置和转速外环PI控制。
• 对于发电机控制，我们关心的是直流端的电压和波形稳定以及交流侧功率系数趋近1（交流侧电压电流相位差趋近0）。为提高发电机性能，功率系数趋近1，通常采用目标id=0，并iq电流内环PI控制，直流电压U外环的PI控制。

下面详述以转子磁场定向为原则，基于坐标变换(Clarke和Park)的空间电压矢量(SVPWM)的电机控制理论：
矢量控制理论就是实现对交流电动机的解耦控制。其基本思想是在普通的三相交流电动机上设法模拟直流电动机转矩控制的规律，在磁场定向坐标上，将电流矢量分解成产生磁通的励磁电流分量和产生转矩电流分量，并使二者相互垂直，彼此独立，然后分别进行调节，矢量控制的关键仍是对电流矢量的幅度和空间位置的控制。
矢量控制的目的就是为了改善转矩控制性能，而最终实施仍然是落实在对定子电流交流量的控制上。由于定子侧的各物理量是交流量，其空间矢量在空间上以同步转速旋转，调节起来不方便。需要借助坐标变换，使这个物理量从静止坐标系转换到同步旋转坐标系，站在同步旋转坐标系上观察，电动机的各空间矢量都变成静止矢量，在同步坐标系上的个空间矢量就都变成直流量，可以根据转矩公式的几种形式，找到转矩和被控矢量的各分量之间的关系，实时地计算出转矩控制所需的各矢量的分量-直流给定量。按这些给定量实时控制，就能达到直流电动机的控制性能。由于这些给定量是不存的，需要在经过坐标逆变换，从旋转坐标系回到静止坐标系，把直流给定量变换成交流给定量，在三相定子坐标系上对交流量控制，使其实际值等于给定值。

在进行坐标转换之前先讲述几个概念：

1. 磁感应强度B：描述磁场强弱和方向的物理量，是矢量，国际通用单位为特斯拉（符号为T）。磁感应强度也被称为磁通量密度或磁通密度。一般磁感应强度B与电流I成正比。有以下公式。
   ①毕奥-萨伐尔定律： $$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\cdot \frac{Id\vec{l}\times \vec{e}}{|\vec{r}{|}^2}$$ $Id\vec{l}$表示恒定电流的一电流元，r表示从电流元指向某一场点P的径矢。式中B、$d\vec{l}$、r均为矢量，e为单位向量，方向与r相同。

   ②无限长载流直导线外：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$ 其中${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{N}\cdot {\text{A}}^{-2}$为真空磁导率。r为该点到直导线距离。

   ③圆电流圆心处：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2r}$$ 其中，r为圆半径。

2. 磁通量Φ：设在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一个面积为S且与磁场方向垂直的平面，磁感应强度B与面积S的乘积，叫做穿过这个平面的磁通量，简称磁通（Magnetic Flux）。标量，符号“Φ”。

3. 磁链Ψ：导电线圈或电流回路所链环的磁通量。磁链等于导电线圈匝数N与穿过该线圈各匝的平均磁通量φ的乘积，Ψ=Nφ故又称磁通匝。根据法拉第电磁感应定律,当磁通随时间变化时,在线圈中将产生感应电动势；该电动势e等于磁链随时间变化率的负值：$e=-\frac{d\Psi }{dt}$。式中e与Ψ的方向的选取符合右手螺旋关系。磁链与建立磁通的电流有关。定义自感系数$L=\frac{\Psi }{I}$。

   电流I1在其所流经的线圈N1中建立的磁链Ψ11称为线圈1的自感磁链： Ψ11=N1φ11=L1I1
   式中φ11是I1在线圈1中建立的磁通，N1是线圈1的匝数，L1是其自感。

   电流I1在它附近另一线圈2中建立的磁链Ψ21称为线圈1对线圈2的互感磁链：Ψ21=N2φ21=MI1
   式中φ21是I1在线圈2中建立的磁通，N2是线圈2的匝数，M是互感。

4. 磁动势（MMF，magnetic motive force 或者 magnetomotive force）的标准定义是电流流过导体所产生磁通量的势力(force)，是用来度量磁场或电磁场的一种量，类似于电场中的电动势或电压。它被描述为线圈所能产生磁通量的势力，这样科学家就能够用它来衡量或预见通电线圈实际能够激发磁通量的势力。此外，永久磁铁也会有磁动势。F = N·I，N表示线圈匝数，I表示线圈中的电流大小。通电线圈产生的磁动势 F 等于线圈的匝数 N 和线圈中所通过的电流 I 的乘积，也叫磁通势，由于上述几个磁场量存在线性关系，一帮使用磁动势等效原则来定义线圈磁场等效。

三相交流电动机的定子三相绕组在实际空间中互差120机械度，且再通过时间上相差120电角度的三相正弦交流电，就会在空间上建立一个角速度为ω的旋转磁场。此旋转磁场的轴线在旋转，周期和交流电的相同，在旋转过程中合成磁场强度不变，称为圆形旋转磁场。那能不能用两相的交流电流等效的去产生三相电流产生的磁场，使其磁场效果一样。结论是产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。实际上除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。

电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。称为磁动势等效原则。根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生相同的旋转磁场（或磁动势），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC—αβ(3-2)变换的思路。这一变换也称为Clarke变换或者3/2变换，即三相定子A-B-C坐标系到两相定子α-β坐标系的变换。

通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。能进行3/2变换的数学基础，是在平面内可以最少用2个正交坐标轴代替3个坐标轴进行平面向量标识。注意所谓的三相ABC静止坐标系和三维空间XYZ坐标系是不一样的。为方便期间，让α轴和A轴重合。

根据磁场磁动势等效原则（电流与线圈匝数乘积），并引入0轴，满足功率不变条件（矩阵为正交转换矩阵，其逆等于其转置）。$$\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\\ I_0\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ & & \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]=C_{\frac{3}{2}}\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\\ I_c\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & & \\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & & \\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\\ I_0\end{array}\right]=C_{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\\ I_0\end{array}\right]=C_{\frac{3}{2}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\\ I_0\end{array}\right]$$这种功率不变条件下的坐标转换，其矩阵是正交矩阵，逆运算等于矩阵的转置方便在程序中运算，但系数是$\sqrt{\frac{2}{3}}$，无理数在程序中不好处理。还有一种是根据空间矢量不变原则进行的坐标变换，等幅值变换，矩阵不是正交矩阵，在程序中做逆运算是比较麻烦，但矩阵系数是$\frac{2}{3}$，有理数好处理，同时0轴那一行由$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 变为$\frac{1}{2}$ 。为什么要关心逆运算呢？因为后续要做坐标逆变换，逆变换就是与矩阵的逆矩阵相乘。

做完三相静止ABC坐标系到两相静止α-β坐标系转换后（即Clarke变换），虽然减少一个维度但是仍是交流耦合的，对于控制要求还不够，此时需要进行由两相静止α-β坐标系到两相同步旋转dq坐标系的转换。称为Park变换，也叫交-直变换。

Park变换过程：观察者的观察点从静止的定子转移到同步旋转的转子上，由于存在同步关系，静止定子合成的旋转磁场，在转子上看来其实是静止的，其磁场大小和方向都不变，则可以分解成平行于转子磁通方向的d轴分量和垂直于转子磁通方向的q轴分量，而且在转子坐标系来看，这两个分量是正交的，互不影响，从而达到解耦控制的目的，同时这两个分量也变成了转子坐标系下的直流分量，因而可以引入PI控制。

在此过程中，我们类比直流电机的概念，定义三相交流同步电机的转子磁通为主磁通，其磁场轴线方向即为主磁通方向，称其为直轴，d轴即与之重合。垂直于转子磁场的方向为转矩方向，由于正交称其为交轴，即为q轴。一般q轴领先d轴90度（逆时针）。d轴（即转子磁场方向）与α轴（A轴）的夹角为θ。

仍根据磁动势等效原则，引入0轴，推到转换公式如下：$$\left[\begin{array}{c}{I}_d\\ I_q\\ I_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\\ I_0\end{array}\right]$$合并上面两个变换，就可以得到三相静止ABC坐标系到两相旋转dq0坐标系的变换矩阵为：$$C_{3s/2r}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ & & \\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}[\begin{array}{c}cos\theta \\ -sin\theta \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$