线性代数笔记32——线性变换及对应矩阵

　　原文：https://mp.weixin.qq.com/s/qCmstZdzCy1WCfBAkEZEoA

　　线性变换这个词在线性代数中经常被提及，每个线性变换的背后都有一个矩阵。矩阵的概念比较直观，相比之下，线性变换就显得抽象了。

线性变换

　　抛开矩阵，我们从变换的角度讨论投影。通过T变换，使平面内的一个向量投影到一条直线上：

　　T就像一个函数：给定一个输入向量，经过T的变换，输出成直线上的投影，过去我们一直用更专业的“映射”称呼这种变换关系。下图中v和w是R2空间内的向量，通过T变换变成了直线上的投影，即T(v)和T(w)：

　　变换的关系有很多，而线性代数只讨论线性变换。如果T表示一个线性变换关系，对于任意向量v和w以及标量c，线性变换应该保证下面两个运算的不变性，加法不变性和数乘不变性，这一点和线性组合类似：

　　把二者结合：

　　顺便说一下，投影变换是一种线性变换。

判断线性变换

　　判断一个变换是否是线性变换其实并不困难，只要判断这个变换是否满足加法不变性和数乘不变性即可。

反例1：平移整个平面

　　假设某个变换关系T是平面沿着某个方向平移v0，也就是说对于平面内的任意向量v，都有T(v) = v + v0，T变换是否是线性变换？

　　这个看起来很简单的变换并不是线性变换，它违背了线性变换的两个不变性，以数乘不变性为例：

　　线性变换的不变性要求对输入空间内的任意向量都成立，当然也包括零向量，因此一个更简单的判断方法就是使用零向量。数乘不变性对于零向量来说将有T(0) = 0，但本例中T(0) = v0，所以说“平移”变换不是线性变换。

反例2：求向量的长度

　　变换关系T(v) = ||v||是否是线性变换？

　　T变换将产生维度的变化。假设v是一个三维向量，经过T的变换将变成一个大于等于0的实数，也就是一维向量：

　　虽然本例满足T(0) = 0，但是