上面积分第一眼就看蒙了，还傻乎乎地自己去换元积分，最后反应过来原来直接用beta函数计算就好了。
贝塔函数：
B
(
p
,
q
)
=
∫
0
1
x
p
−
1
(
1
−
x
)
q
−
1
d
x
B(p, q) = \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx
B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dx
可以证明
B
(
p
,
q
)
=
B
(
q
,
p
)
=
Γ
(
p
)
Γ
(
q
)
Γ
(
p
+
q
)
B(p,q) = B(q, p) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
B(p,q)=B(q,p)=Γ(p+q)Γ(p)Γ(q)
其中，
Γ
(
x
)
\Gamma(x)
Γ(x) 为伽马函数：
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt
Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt
特别地，当
n
n
n为正整数时，
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
\Gamma(n) = (n-1)!
Γ(n)=(n−1)!
关于这两个特殊函数可以参考：Gamma 分布和Beta 分布简介
有了上面的基础，红框里的积分就好做了：
∫
0
1
(
n
x
)
θ
x
(
1
−
θ
)
n
−
x
d
θ
=
(
n
x
)
∫
0
1
θ
x
+
1
−
1
(
1
−
θ
)
n
−
x
+
1
−
1
d
θ
=
(
n
x
)
B
(
x
+
1
,
n
−
x
+
1
)
=
(
n
x
)
Γ
(
x
+
1
)
Γ
(
n
−
x
+
1
)
Γ
(
n
+
2
)
=
n
!
x
!
(
n
−
x
)
!
(
n
−
x
)
!
x
!
(
n
+
1
)
!
=
1
n
+
1
\begin{aligned} &\int_0^1 \binom{n}{x} \theta^x (1-\theta)^{n-x} d\theta \\ = & \binom{n}{x} \int_0^1 \theta^{x +1 -1} (1-\theta)^{n-x + 1 -1} d\theta \\ =& \binom{n}{x} B(x+1, n-x+1) \\ = & \binom{n}{x} \frac{\Gamma(x+1)\Gamma( n-x+1)}{\Gamma(n+2)} \\ =& \frac{n! x! (n-x)!}{(n-x)! x! (n+1)!} \\ = & \frac{1}{n+1} \end{aligned}
=====∫01(xn)θx(1−θ)n−xdθ(xn)∫01θx+1−1(1−θ)n−x+1−1dθ(xn)B(x+1,n−x+1)(xn)Γ(n+2)Γ(x+1)Γ(n−x+1)(n−x)!x!(n+1)!n!x!(n−x)!n+11
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