[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
企鹅交流: 643439947
个人网站: 80x86汇编小站
编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向 驱动 磁盘 文件 大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析
[序言]
在计算机数学与概率论的学习中, 伯努利数(Bernoulli numbers)扮演着重要角色. 它们不仅与级数求和、无穷级数展开紧密相关, 也是数值积分、差分方法以及离散傅里叶变换等领域的基础工具之一. 对于希望深入了解数值分析和组合数学的读者而言, 掌握伯努利数的生成方法具有十分重要的意义.
[描述]
根据伯努利数的生成函数:指数母函数(Fonction Génératrice Exponentielle), 如果假设 n=1 时，如何求出伯努利数B1？
[详细推导]
1. 指数母函数
x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n x n n ! . \frac{x}{e^x - 1} \;=\; \sum_{n=0}^\infty B_n\,\frac{x^n}{n!}. ex−1x=n=0∑∞Bnn!xn.
我们的目标是读出一次项系数 B 1 B_1 B1。
2. 分母展开
首先将 e x − 1 e^x - 1 ex−1 在 x = 0 x=0 x=0 处展开：
e x − 1 = x + x 2 2 + x 3 6 + ⋯ = x ( 1 + x 2 + x 2 6 + ⋯ ) . e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots = x\Bigl(1 + \tfrac{x}{2} + \tfrac{x^2}{6} + \cdots\Bigr). ex−1=x+2x2+6x3+⋯=x(1+2x+6x2+⋯).
因此
x e x − 1 = 1 1 + x 2 + x 2 6 + ⋯ = ( 1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ ) − 1 , \frac{x}{e^x - 1} = \frac{1}{\,1 + \tfrac{x}{2} + \tfrac{x^2}{6} + \cdots\,} = \bigl(1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots\bigr)^{-1}, ex−1x=1+2x+6x2+⋯1=(1+a1x+a2x2+⋯)−1,
其中 a 1 = 1 2 a_1 = \tfrac12
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