抽象代数之pq阶群或者为循环群或者只有两种结构

这里7模3剩余1。 模7剩余类中有3个元素的3次方模7余1。

r等于4或11或14是不同构的三种结构

pq阶群中元素的阶为1，或者p或者q。

抽象代数-群论

简单的抽代，从群到伽罗瓦，By bilibili Maki！

设$G$为群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,记作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由于子群之交仍然是子群,这说明包含$S$的子群中确实有最小的.显然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\in<S>$,因此$$<S>=\left\{...

最近入职了，更新速度要慢很多了，尽量在每天下班看一些抽时间学，这章是循环群，虽然是群的一个很小的类别，但其实是很重要的内容。

1. 设 G 是群，H 是 G 的子群。任取 g1, g2 ∈ G，则 g1H = g2H 当且仅当 充分性：,则存在使得,利用消去律有 必要性：,令 有 所以 3. 如果 G 是群，H 是群 G 的子群，且 [G : H] = 2，请证明对任意的 g ∈ G，gH = Hg。 证明：当 当,存在 因为 所以 , ...

(由于Sylow-p群只有一个, 所以正规)例子: 15阶群必定是循环群.是15阶群, 必有唯一的3阶群。只有单位元以及5阶元, )只有单位元以及3阶元,, (通过阶数得到).. (循环群必交换)

设p和q是两个不同的素数，G是阶为pq的阿贝尔群，请证明G是循环群。 证明： 若G没有非平凡子群，则G显然是循环群。 当G有非平凡子群时，由拉格朗日定理得存在G的一个阶为p的子群H，且H是循环群，对于任意非单位元h∈H都是H的生成元。同理可得存在另一个阶为q的子群K，则K = < b >,H = < a >。由于G是阿贝尔群，所以H,K也是阿贝尔群。则apbpaqbq = apaqbpbq = apqbpq = (ab)pq ，则对于任意g∈G，存在a，b使得g = (ab)pq，所

CINTA作业六 拉格朗日定理 一、设G是群，H是G的子群。任取g1,g2∈G,则g1H=g2H当且仅当g1-1g2∈H。 证明充分性：    g1H=g2H   g1-1g1H=g1-1g2H     H=g1-1g2H 根据所谓吸收性可知，g1-1g2∈H，因此充分性得证。 证明必要性: 若 g1-1g2∈H 有  g1-1g2H=eH g1g1-1g2H=g1eH    g2H=g1H 必要性得证，题目所述成立。 二、如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg。

原理：求解离散对数是困难的，而其逆运算可以应用平方乘的方法有效的计算出来。 关于定义中循环群、生成元等基础概念的理解可以看上一篇文章整理 https://blog.csdn.net/sLiubala/article/details/105952656 ElGamal加密算法三部分： 密钥生成、加密、解密 密钥生成 利用生成元g产生一个q阶循环群G 从{1,…q-1}中随机选择一个x h=gx ...

　G1和G2是q阶循环群，q为一个大素数，G1中的运算为加法，G2中的运算为乘法。 　　　双线性配对: 如果存在满足下列条件的ê: G1×G1→G2 　　　1．双线性: 对所有的P,QG1，a,bZ p ，有ê(aQ, bR) = ê(Q,R)ab； 　　　2．非退化性: 存在Q,RG1使得ê (Q,R) 不等于1； 　　　3．可计算的: 对任意的Q,RG1，存在一个高效的算法来计算ê(Q,R) 　　　称ê为双线性映射。 　　　注意,ê也是对称的, 因为ê是双线性的和G1是一个循环群，所以对于所有的Q,R∈