【AI数学基础】线性代数：向量空间

（观前提醒，这是工科AI相关的数学基础的学习笔记，不是数学专业的文章，所以没有严谨的证明和定义，数院大神请勿批评）

1. 向量空间

1.1 定义和例子

在数学中，空间这个概念本质上是满足一定条件的集合。而向量空间，总的来说，就是定义了加法和数乘这两种运算的集合。

1.1.1 集合

【定义】集合（$\mathbf{S}$）是指具有某种特定性质的总体。

• 比如说，把所有整数放在一起定义整数集 Z = { ⋯   , − 1 , 0 , 1 , ⋯   } \mathbb{Z}=\{\cdots,-1,0,1,\cdots\} Z={ ⋯,−1,0,1,⋯}.
• 实数集$\mathbb{R}$.
• 有限集合，比如 { 1 , 3 , 4 } \{1,3,4\} { 1,3,4}.

1.1.2 阿贝尔群

在一个集合之上定义加法运算$\mathbf{S}\times \mathbf{S}\to \mathbf{S}$（这是笛卡尔积，在笛卡尔积中，每个元素都与另一个集合中的每个元素形成一对，这样就生成了所有可能的组合。这里如果非要看懂详见本人文章：【数学分析笔记】第1章第1节：集合（3））：

• 交换律：$w+v=v+w$；
• 结合律：$(u+v)+w=u+(v+w)$；
• 加法恒等：$v+0=v$
• 加法逆元：$v+(-v)=0$

满足上述四条加法运算规则的集合就是阿贝尔群（$\mathbf{A},+$）。典型的例子有：

• 定义了加法运算的整数集 { Z , + } : 2 + 1 = 3 \{\mathbb{Z},+\}:2+1=3 { Z,+}:2+1=3；
• 定义了加法运算的实数集 { R , + } : 3.1 + 1.3 = 4.4 \{\mathbb{R}, +\}:3.1+1.3=4.4 { R,+}:3.1+1.3=4.4.

1.1.3 向量空间

在阿贝尔群之上如果再定义一个数乘运算：$\mathbb{R}\times \mathbf{V}\to \mathbf{V}$，并且数乘运算的各种性质：

• $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$
• $(\lambda +\mu )v=\lambda v+\mu v$
• $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$
• $1\cdot v=v$

满足上述性质，就得到了向量空间（$\mathbf{V},+,\mathbb{R}$）。所谓数乘元素，就是让一个元素和一个实数相乘。典型的例子：

• $n$维实数空间，一般记作${\mathbb{R}}^n,n⩾1,$