人工智能-数学基础-线性代数与仿射变换

此篇文章需要一些线性代数、矩阵分块和Numpy的基础，在文中对这些基础不再赘述

一. 坐标变换

1.1 一个点变换到另一个点

$$存在坐标点(x_1,x_2)需要变换到(y_1,y_2),可以进行如下计算:$$

$$\{\begin{array}{ll}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2& \\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2& \end{array}$$
以上代数计算关系可以写为矩阵运算关系：

$$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$

$$\overrightarrow{y}=A\cdot \overrightarrow{x}$$
分量计算为:
$$y_i=\sum _{j=1}^2{a}_{ij}{x}_j$$
此为矩阵的点乘(内积)

1.2 n个点进行坐标变化

$$假设有N个点X\in {\mathbb{R}}^{N\times 2},多有点均进行矩阵预算:$$
注意:此时每一行代表了一个点
$$\left[\begin{array}{cc}{y}_{11}& y_{12}\\ y_{21}& y_{22}\\ y_{31}& y_{32}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\\ x_{31}& x_{32}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$
$$Y=X\cdot A$$
分量的形式:
$$y_{ni}=\sum _{j=1}^2{x}_{nj}{a}_{ji}$$

1.3 M维空间数据

$$对于M维数据,X为n行m列数据X\in {\mathbb{R}}^{n\times m}，A为m行k列数据A\in {\mathbb{R}}^{m\times k}$$
$$Y=X\cdot A$$
$$Y为n行k列数据Y\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$$
分量的形式:
$$y_{ij}=\sum _k^m{x}_{ik}{a}_{km}$$
$$所以，如果需要对n维空间中的点进行变换，则需要A满足m行m列，A\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$$

二. 矩阵的仿射变换

2.1 我们先模拟一些点数据:

"""
模拟点数据
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.switch_backend("TkAgg")
# 随机生成 1000 行, 2列的范围从 (0-1)的数据
points = np.random.random([1000, 2])

# 生成均匀的1000个 0到2的数字
random_num = np.linspace(0, 2, 1000)
# 将 line_x 重调为 1000行 1 列的矩阵
line_x = np.reshape(random_num, [1000, 1])
# 将 line_x进行列拼接. 得到 1000行两列的数据, 该数据类似于 斜率 0.5的直线
line = np.concatenate([line_x, line_x], axis=1)

# 将散点和线性数据进行 行拼接, 得到 2000行2列的数据
join_point = np.concatenate([points, line], axis=0)
plt.scatter(join_point[:, 0], join_point[:, 1], alpha=0.5, color="#ff0000")

# 使横纵坐标等长
plt.axis("equal")
plt.show()

2.2 对点数据进行拉伸旋转平移:

a.仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
b.仿射变换可以进行平移、旋转、放缩、镜像等变化。
c.仿射变换，可以保持原来的线共点、点共线的关系不变，保持原来相互平行的线仍然平行，保持原来的中点仍然是重点，保持原来在一直线上的几段线段的比例关系不变，但是仿射变换不能保持原来的线段长度不变，也不能保持原来夹角角度不变。
d.仿射变换公式：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& t_x\\ a_3& a_4& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
$$其中(t_x,t_y)表示平移量，而参数a_i则反映了图像旋转、缩放等变化。$$
例如:

"""
仿射变换，拉伸，旋转, 平移
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.switch_backend("TkAgg")
# 随机生成 1000 行, 2列的范围从 (0-1)的数据
points = np.random.random([1000, 2])

# 生成均匀的1000个 0到2的数字
random_num = np.linspace(0, 2, 1000)
# 将 line_x 重调为 1000行 1 列的矩阵
line_x = np.reshape(random_num, [1000, 1])
# 将 line_x进行列拼接. 得到 1000行两列的数据, 该数据类似于 斜率 0.5的直线
line = np.concatenate([line_x, line_x], axis=1)

# 将散点和线性数据进行 行拼接, 得到 2000行2列的数据
join_point = np.concatenate([points, line], axis=0)

# 设置一个转换器(2行2列的矩阵), 该变换是 x 轴方向拉伸
# 该矩阵的行列式也代表了面积的变化, 比如该行列式的为2,则代表变化后, 面积扩大了一倍
A1 = np.array([[2, 0],
              [0, 1]])

# 进行仿射变换, 以下三种均为矩阵的点乘
# affine_point = join_point.dot(A)
# affine_point = np.dot(join_point, A)
affine_point1 = join_point @ A1

# 设置一个转换器(2行2列的矩阵),该变换是斜向拉伸
A2 = np.array([[1, 0.5],
               [0.5, 1]])
affine_point2 = join_point @ A2


# 单位矩阵, 做乘法保持以前大小形状角度不变
A3 = np.array([[1, 0],
               [0, 1]])
# 平移矩阵, 标识向右平移1, 向上平移2
B = np.array([1, 2])
affine_point3 = join_point @ A3 + B


# 将原图形旋转90度
theta = np.pi/2
A4 = np.array([[np.cos(theta), np.sin(theta)],
              [-np.sin(theta), np.cos(theta)]])

affine_point4 = join_point @ A4

plt.scatter(join_point[:, 0], join_point[:, 1], alpha=0.2, color="#ff0000")
plt.scatter(affine_point1[:, 0], affine_point1[:, 1], alpha=0.2, color="#0000ff")
plt.scatter(affine_point2[:, 0], affine_point2[:, 1], alpha=0.2, color="#00ff00")
plt.scatter(affine_point3[:, 0], affine_point3[:, 1], alpha=0.2, color="#000000")
plt.scatter(affine_point4[:, 0], affine_point4[:, 1], alpha=0.2, color="#800080")


# 使横纵坐标等长
plt.axis("equal")
plt.show()

三. 利用仿射变换可以对图像进行操作

还是拿我们喜爱的姚明同学举例:

将姚明同学逆过来:

"""
将姚明同学逆过来
"""
import cv2
import numpy as np

# 获取图片并获取宽高信息
img = cv2.imread("ym.png")
h, w, c = img.shape

# openCV的参数设置中, A和B写在了一起
# 以y轴为标准做镜像, 并平移宽度 w的长度
A = np.array([[-1., 0., w],
              [0., 1, 0]])

img = cv2.warpAffine(img, A, (w,  h))
cv2.imshow("img", img)
cv2.waitKey(0)

四.对视频进行仿射变换

例如:

import cv2
import numpy as np

# 读取摄像的句柄,调去第一个摄像头
cap = cv2.VideoCapture(0)
# 构建读取循环
while True:
    ret, img = cap.read()
    h, w, c = img.shape
    # 对影像做仿射变换
    A = np.array([[-1., 0., w],
                   [0., 1, 0]])
    img = cv2.warpAffine(img, A, (w, h))
    cv2.imshow("img", img)
    # 每隔100ms没响应则继续读取
    ret = cv2.waitKey(100)
    if ret == 97:
        break
cv2.destroyAllWindows()