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贝叶斯地理统计模型R-INLA-参数介绍

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在前述的内容中，我们介绍了，如何利用海拔高度预测降雨量信息，在建立了INLA空间模型后，需要对模型的参数进行提取，但是具体涉及到哪些参数，所以本篇内容就来介绍，INLA模型中包含的参数问题

1.INLA-简单回归模型

在面对具体问题时候，需要具体对待，譬如，用SDI变量来估计水的PH大小，我们先建一个简单的回归模型。

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该回归模型包含三个参数β1, β2, and σ，在INLA模型中，主要是涉及β与 σ，变异参数（ σ）也通常叫做 hyperparameters，在上述公式中σ是残差项的标准误。如果是有GLM或者时间回归，那么也会有对应的 σ。

所以这个简单的回归只有一个 hyperparameter，那就是σ。

library(INLA)
I1 <- inla(pH ~ SDI.std, data = iph,family = "gaussian")
names(inla.models()$likelihood)

summary(I1)
Fixed effects:
mean sd 0.025quan 0.5quan 0.975quan mode kld
(Intercept) 7.432 0.026 7.380 7.432 7.483 7.432 0 
SDI.std -0.413 0.026 -0.465 -0.413 -0.362 -0.413 0
The model has no random effects 

Model hyperparameters:
                               mean sd 0.025quan 0.5quant 0.975quant mode 
Precision for Gaussian observ. 6.98 0.62 5.83 6.95 8.26 6.90
Expected number of effective parameters(std dev): 
2.024(0.0023)
Number of equivalent replicates : 103.74
Marginal log-Likelihood: -113.24

I1$summary.hyperpar

从上述的方程中，我们可以知道β1=7.43(7.38,7.48), β2=-0.41(-0.47,-0.36), and σ=6.98。然后我们的 R-INLA 是通过计算 τ = 1 / σ2 来得到σ。所以参数的分布图见下。关于GLM及固定效应模型等，以此类推，在建立好的INLA模型中，获取对应参数。

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2.INLA-空间回归模型

还是以估计PH为例，但是上述回归方程只是涉及一个变量，现在我们增加多个变量，建立一个简单的回归方程

image-20200622223757389.png

只涉及到一个σ。我们建立回归方程后，便可以看到α，β及σ的值。

image-20200622223937597.png

现在加入空间效应

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我们可以看到，唯一增加的就是 ui ，关于空间效应的变量。This is a random intercept that is assumed to be spatially correlated with mean 0 and covariance matrix Σ.This makes the uis a Gaussian Markov random field (GMRF). 也就是INLA模型中计算MESH网格的SPDE空间效应的值的分布函数。

image-20200622224449365.png

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上述既是如何产生MESH及计算SPDE的空间效应。

我们的INLA参数存储在fit模型中summary.fixed。可以获取不同的β值。接下来就是hyperparameters，The posterior mean of κ (Kappa in the code above) is 0.0314 and the posterior mean of σu (sigmau in the code) is 0.282。We can use the Kappa value to calculate the Matérn correlation values

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重要的一点就是Matern函数可以测量在range为多少的时候，具有空间相关性。

We finally present the spatial component, the wks. Their posterior mean values can be obtained via

w.pm <- IM2bw$mean

一般空间模型的参数主要包括α，β，σe（measuremnt errors），σ（Spatial Variacne）及r（sptial rang）