【视觉slam十四讲】【十二讲 建图】12.1 习题：证明两个正态分布的联合分布

习题证明：证明公式12.6。
其实就是证明两个正态分布的联合分布是什么，即附录A的A.6。

1. 两个高斯 PDF 的乘积

设两个正态分布：

$$p_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_1^2}}\exp \left[-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\right]$$

$$p_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_2^2}}\exp \left[-\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}\right]$$

它们的乘积（忽略归一化常数）为：

$$p_1(x)p_2(x)\propto \exp \left[-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}-\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}\right]$$

2. 合并指数项

指数部分为：

$$Q=-\frac{1}{2}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]$$

展开平方项：

$$\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}=\frac{x^2-2{\mu }_{1}x+{\mu }_1^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{x^2-2{\mu }_{2}x+{\mu }_2^2}{{\sigma }_2^2}$$

$$=\left(\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}\right)x^2-2\left(\frac{{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}\right)x+\left(\frac{{\mu }_1^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2^2}{{\sigma }_2^2}\right)$$

3. 写成高斯分布的形式

一个高斯分布 $\mathcal{N}(x\mid {\mu }_f,{\sigma }_f^2)$ 的指数部分为（$f$表示$fuse$的缩写）：

$$-\frac{(x-{\mu }_f{)}^2}{2{\sigma }_f^2}=-\frac{1}{2{\sigma }_f^2}\left(x^2-2{\mu }_{f}x+{\mu }_f^2\right)$$

比较 $x^2$ 和 $x$ 的系数。

从我们展开的 $Q$ 来看：

$$Q=-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}\right)x^2-2\left(\frac{{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}\right)x+\text{常数项}\right]$$

与 $-\frac{1}{2{\sigma }_f^2}(x^2-2{\mu }_{f}x+{\mu }_f^2)$ 比较：

• $x^2$ 的系数：

$$\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}=\frac{1}{{\sigma }_f^2}$$

所以：

$$\frac{1}{{\sigma }_f^2}=\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}$$

这就是 精度相加 的公式。

• $x$ 的系数：

$$\frac{{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}=\frac{{\mu }_f}{{\sigma }_f^2}$$

所以：

$${\mu }_f=\frac{\frac{{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}}{\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}}$$

4. 最终融合公式

融合后的方差：

$${\sigma }_f^2=\frac{1}{\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}}$$

$${\sigma }_f^2=\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$$

融合后的均值：

$${\mu }_f=\frac{\frac{{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}}{\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}}$$

$${\mu }_f=\frac{{\mu }_1{\sigma }_2^2+{\mu }_2{\sigma }_1^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$$

因此融合后的分布为：

$$p_{\text{fuse}}(x)=\mathcal{N}\left(x|\frac{{\mu }_1{\sigma }_2^2+{\mu }_2{\sigma }_1^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}\right)$$