动态规则_最长公共子序列问题

给定两个序列
X = { x1 , x2 , ... , xm }
Y = { y1 , y2 , ... , yn }
求X和Y的一个最长公共子序列

举例
X = { a , b , c , b , d , a , b }
Y = { b , d , c , a , b , a }
最长公共子序列为
LSC = { b , c , b , a }

分析：

最长公共子序列问题具有最优子结构性质

设
X = { x1 , ... , xm }
Y = { y1 , ... , yn }
及它们的最长子序列
Z = { z1 , ... , zk }

则

1、若 xm = yn ， 则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列
2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列
3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列

由性质导出子问题的递归结构

当 i = 0 , j = 0 时 ,        c[i][j] = 0
当 i , j > 0 ; xi = yi 时 ,  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }

这种分析方法我总得比较有用，值得保存，所以就从book
 ----《计算机机算法设计与分析》电子工业出版社
中摘录出来，如果不明白，可以看一看原作。

// 书中只有关键部分的代码，现在已经补全
// 源程序

#include "iostream.h"
#include "iomanip.h"

#define max 100

void LCSLength( int m , int n , char *x , char *y , char *b )
{
 int i , j , k;
 int c[max][max];

 for( i = 1 ; i <= m ; i++ )
 {
  c[i][0] = 0;
 }
 for( i = 1 ; i <= n ; i++ )
 {
  c[0][i] = 0;
 }

 for( i = 1 ; i <= m ; i++ )
 {
  for( j = 1 ; j <= n ; j++ )
  {
   if( x[i-1] == y[j-1] )
   {
    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
    k = i * ( n + 1 ) + j;
    b[k] = '//';
   }
   else if( c[i-1][j] >= c[i][j-1] )
   {
    c[i][j] = c[i-1][j];
    k = i * ( n + 1 ) + j;
    b[k] = '|';
   }
   else
   {
    c[i][j] = c[i][j-1];
    k = i * ( n + 1 ) + j;
    b[k] = '-';
   }
  }
 }

}
void LCS( int i , int j , char *x , char *b , int width )
{
 if( i == 0 || j == 0 )
  return;
 int k = i * ( width + 1 ) + j;
 if( b[k] == '//' )
 {
  LCS( i - 1 , j - 1 , x , b , width );
  cout<<x[i]<<endl;
 }
 else if( b[k] == '|' )
 {
  LCS( i - 1 , j , x , b , width );
 }
 else
 {
  LCS( i , j - 1 , x , b , width );
 }
}

void main()
{
 char x[max] = { 'a' , 'b' , 'c' , 'b' , 'd' , 'a' , 'b' };
 char y[max] = { 'b' , 'd' , 'c' , 'a' , 'b' , 'a' };
 int m = 7;
 int n = 6;
 char b[max] = { 0 };

 LCSLength( m , n , x , y , b );
 LCS( m , n , x , b , n );

 cout<<endl<<endl;
}

参考资料：
 《计算机算法分析与设计》电子工业出版社