车辆路径问题(VRP)入门：从经典节约算法到现代优化方法

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#算法 #人工智能 #机器学习 #matlab #性能优化

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📖 引言

在现代物流和供应链管理中，车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP） 是一个核心的优化挑战。无论是快递配送、外卖派送，还是垃圾收集、医疗服务，VRP都在背后默默地优化着我们的生活。

今天，我们将从最经典的节约算法（Savings Algorithm） 开始，深入探讨VRP问题的本质，并揭示为什么现代物流需要更先进的优化方法。

🎯 什么是车辆路径问题？

问题定义

车辆路径问题是运筹学中的经典组合优化问题：

🏢 配送中心：所有车辆的起点和终点
🏠 客户点：需要配送服务的地点，每个客户有特定需求量
🚛 车队：有限数量的车辆，每辆车有载重限制
📍 路径规划：为每辆车安排最优的客户访问顺序

目标函数

最小化总运输成本：通常以行驶距离或时间衡量
最小化车辆使用数量：降低固定成本
最大化客户满意度：及时、准确的服务

约束条件

容量约束：每辆车的载重不能超过容量限制
路径约束：每条路径必须从配送中心出发并返回
服务约束：每个客户必须被恰好一辆车服务一次

📐 经典VRP数学模型

符号定义

数学模型

目标函数：

约束条件：

💡 节约算法：经典而优雅的解决方案

算法背景

节约算法由Clarke和Wright在1964年提出，是VRP问题的第一个系统性启发式算法。其核心思想简单而巧妙：通过合并路径来节约运输成本。

算法原理

🔢 节约值计算

对于任意两个客户i和j，节约值定义为：

s(i,j) = d(0,i) + d(0,j) - d(i,j)

其中：

d(0,i)：配送中心到客户i的距离
d(0,j)：配送中心到客户j的距离
d(i,j)：客户i到客户j的距离

🔄 算法步骤与核心代码

步骤1：计算节约值

% 计算所有客户对的节约值
savings_list = [];
for i = 2:customer_number + 1  % 客户索引从2开始（1是仓库）
    for j = i + 1:customer_number + 1
        % 节约值公式：s(i,j) = d(0,i) + d(0,j) - d(i,j)
        savings_value = distance_matrix(1, i) + distance_matrix(1, j) - distance_matrix(i, j);
        savings_list = [savings_list; i, j, savings_value];
    end
end
% 按节约值降序排列
savings_list = sortrows(savings_list, 3, 'descend');

步骤2：初始化路径

% 为每个客户创建单独路径：仓库→客户→仓库
routes = cell(customer_number, 1);
for i = 1:customer_number
    routes{i} = [1, i+1, 1];  % [仓库, 客户, 仓库]
end

步骤3：贪心合并路径

% 按节约值从大到小尝试合并路径
for k = 1:size(savings_list, 1)
    customer_i = savings_list(k, 1);
    customer_j = savings_list(k, 2);

    % 找到包含这两个客户的路径
    route_i = findRouteContaining(routes, customer_i);
    route_j = findRouteContaining(routes, customer_j);

    % 检查是否可以合并（不同路径且满足容量约束）
    if route_i ~= route_j && canMergeRoutes(routes{route_i}, routes{route_j}, vehicle_capacity)
        % 合并路径
        merged_route = mergeRoutes(routes{route_i}, routes{route_j}, customer_i, customer_j);
        routes{route_i} = merged_route;
        routes{route_j} = [];  % 清空被合并的路径
    end
end

步骤4：路径合并核心逻辑

function merged_route = mergeRoutes(route1, route2, customer_i, customer_j)
    % 检查客户在路径端点的位置
    i_at_end_1 = (route1(end-1) == customer_i);
    j_at_start_2 = (route2(2) == customer_j);

    if i_at_end_1 && j_at_start_2
        % route1末端是customer_i，route2开端是customer_j
        merged_route = [route1(1:end-1), route2(2:end)];
    elseif % 其他合并情况...
        % 处理不同的路径连接方式
    end
end

步骤5：输出最终路径

% 移除空路径，得到最终解
final_routes = routes(~cellfun(@isempty, routes));
fprintf('共生成 %d 条路径\n', length(final_routes));

📊 实际案例分析

让我们用Solomon C101数据集来看看节约算法的表现：

问题规模

客户数量：100个
车辆容量：200单位
总需求量：1810单位

求解结果

使用车辆数：11辆
总行驶距离：976.39
平均车辆利用率：82.3%
求解时间：0.016秒

路径示例

车辆1: 仓库→客户11→客户6→客户4→...→客户76→仓库
车辆2: 仓库→客户12→客户14→客户20→...→客户19→仓库
...

⚠️ 节约算法的核心局限

虽然节约算法简单高效，但存在三个关键局限性：

🔀 路径质量问题

路径交错：只考虑距离节约，忽略空间几何特性，导致路径在地理上交错
局部最优：贪心策略缺乏全局视野，容易陷入局部最优解

📐 适应性有限

分布敏感：对客户分布模式高度敏感（聚类分布效果好，随机/线性分布效果差）
约束单一：只能处理基本容量约束，无法处理时间窗、车辆异构等复杂约束

⚡ 优化能力不足

构造型算法：一次性生成解，缺乏迭代改进机制
无局部搜索：现代算法通常结合局部搜索和全局优化，而节约算法缺乏这些机制

📈 算法性能对比

算法类型	解质量	计算速度	适用规模	约束处理
节约算法	中等	极快	中小规模	基础
遗传算法	较好	中等	大规模	强
模拟退火	好	较慢	中大规模	强
禁忌搜索	很好	中等	大规模	很强