时间序列数据处理与建模——基于ARIMA（上）

一、前言

时间序列数据，即按时间顺序排列的数据点集合，是众多领域中至关重要的一种数据形式。这类数据源自于各种应用，如金融市场的股价、经济指标的日常观测、气象数据的采集，乃至生物医学领域中的生理信号。处理和建模时间序列数据旨在揭示其内在规律、趋势和潜在的关联，从而提供对未来发展的洞察。在这个信息爆炸的时代，善于利用时间序列数据的技能变得愈加关键。

时间序列数据建模有多种方法，其中基础模型有TensorFlow，Statsmodel，Scikit-Learn，本系列采用ARIMA模型，旨在介绍时间序列数据处理和建模的基本概念、方法和实践，将探讨从数据清理和预处理到建立预测模型的全过程，涵盖了常见的统计方法及背后的统计逻辑。

本系列旨在理清以下有关时间序列的问题：

1.时间序列是什么？有哪些组成部分？怎么做时间序列数据的分解？

2.什么是“平稳的”数据？平稳数据有什么特征？为什么时间序列数据建模需要平稳数据？如何将非平稳的数据变为平稳数据？

3.什么是ACF、PACF、ARIMA？

4.建模步骤有哪些？

5.实操模型

在本篇中，只讨论前4个问题，而将实操建模留给（下）篇。

二、时间序列组成部分和分解

时间序列数据由以下部分组成：

其中，Y表示时间序列数据；T表示趋势（Trend），指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态；S表示季节波动（Season），是由于季节的变化引起的现象发展水平的规则变动；C表示行为的改变（change in behavior），广义来看，C也可以看做趋势的一部分；I表示极端偏离（outlying observations）。在本文中由于并不存在处理组（Treatment），也没有显著的事件冲击，因此认为C=0。

实际上，换个角度，从构成上可以认为，时间序列数据为：在一个平稳的随机残差项上添加季节波动S，再加上趋势T，然后再加上事件C。

2.1分解趋势

对于时间序列的分解，首先分解趋势T（de-trend），主要有线性回归法、polynomial regression，spine regression等多种方法。最常用的方法为差分法和移动平均法。

移动平均法可以单独提取出T。这是因为残差平稳，围绕中间值波动，用平均刚好可以在一定程度上抵消随机性，也可以把循环波动的季节性因素抵消，因此移动平均之后，可以认为只包含T和C两部分，即总趋势部分。

差分法可以将T分解出去。实际上，在T、S、C、I中，只有T是与时间t相关的（S只与周期的时间间隔有关，而与具体时间是哪年、哪月无关），分解趋势即将与时间t有关的项分解出去。在假定趋势和时间t是线性关系的情况有：