【离散数学】集合论基础

什么是集合？

集合 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。
外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC 公理化集合论)

例子：

1 所有英文字母
2 所有小于 100 的正奇数
3 中国所有的残疾人
4 世界上所有的数学家
5 某植物园的所有植物
6 天安门广场所有的路灯和树

集合的符号表示

集合的数学符号

通常情况下

• 用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B, C, · · · , A1,B1, C1, · · ·
• 用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b1, c1,

常用集合：

自然数集合 N: 0, 1, 2, 3, · · ·
整数集合 Z: · · · , 2, 1, 0, 1, 2, · · ·
有理数集合 Q 与实数集合 R，等等

属于关系

若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A 若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a /∈ A

枚举法

列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示

A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }

叙述法

通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。P = {x|P(x)}

A = {x|x是英文字母中的元音字母}
B = {x|x ∈ Z, x < 10}
C = {x|x = 2k, k ∈ N}

文氏图

文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

基数

定义

集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

集合类型

空集

不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
空集可以符号化为 ∅ = {x|x ≠ x}.

设 A = {x|x ∈ R, x^2 < 0}, 则 A = ∅
|∅| = 0, |{∅}| = 1

空集是绝对唯一的。

全集

针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.
在文氏图一般使用方形表示全集。

在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；
在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。

全集是相对唯一的

集合的关系

集合的相等关系

元素的基本特性

• 集合中的元素是无序的。{1, 2, 3, 4} 与 {2, 3, 1, 4} 相同。
• 集合中的元素是不同的。{1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2} 与 {1, 2, 3, 4} 相同。
  外延性定理：
  两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B不相等，记为A ≠ B.

子集和真子集

设 A,B 是任意两个集合，
如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含
B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.
如果 B ⊆ A 并且 A = B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记
作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A.

⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对 ∀x, 如果 x ∈ B, 则 x ∈ A

证明集合相等

设 A, B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A
证明：1 首先证明 A ⊆ B：∀x ∈ A, · · · , x ∈ B. ∴ A ⊆ B. 2 其次证明 B ⊆ A：∀x ∈ B, · · · , x ∈ A. ∴ B ⊆ A.
由以上两点，可知 A=B。

n 元集的子集

例子：
设 A = {a, b, c}，求出 A 的所有子集。
解：由于 |A|=3，因而 A 的子集可能包含的元素个数 m = 0, 1, 2, 3
m = 0, 即没有任何元素，也就是空集 ∅
m = 1, 从 A 中任取 1 个元素，则有 $C_1^3$ = 3 个：{a}, {b}, {c}
m = 2, 从 A 中任取 2 个元素，则有 $C_2^3$ = 3 个：{a, b}, {b, c}, {a, c}
m = 3, 从 A 中任取 3 个元素，则有 $C_3^3$ = 1 个：{a, b, c}
以上 8 个集合就是 A 的所有子集。

⋆ 推广: 对于任意 n 元集合 A，它的 m 元 (0 ⩽ m ⩽ n) 子集个数为 $C_n^m$ 个,所以不同的子集个数为：$C_n^0+C_n^1+\cdot \cdot \cdot +C_n^n=(1+1{)}^n=2^n.$

幂集

设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A}
例子：
设 A = {a, b, c}，B = {a, {b, c}}，求他们的幂集 P(A) 和 P(B)。 解：P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}} P(B) = {∅, {a}, {{b, c}}, {a, {b, c}}}
幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工
智能等方面都有十分重要的意义。

并集

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的并 集定义为：A ∪ B = {x|x ∈ A 或 x ∈ B}

例子：

• 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的并集是 {1, 2, 3, 5};
• 若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∪ B 是选
  修了音乐欣赏或选修了西方文学或两门课都同时选修的学生.

交集

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的交 集定义为：A ∩ B = {x|x ∈ A 并且 x ∈ B}
例子：

• 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的交集是 {1, 3};
• 若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ∩ B 是即选修了音乐欣赏又选修了西方文学的学生

补集

设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：
A = {x|x /∈ A}
例子：

• 集合 {1, 3, 5} 对于全集 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 的补集是 {2, 4, 6, 7, 8};
• 若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，全集 U 是所有在校学生，则 A 是没有选修音
  乐欣赏的学生

差集

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差 集定义为：
A B = {x|x ∈ A 并且 x /∈ B}

例子：

• 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的差集是 {5};
• 若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A B 是选
  修了音乐欣赏但没有选修西方文学的学生

对称差集

设 A, B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称
差集定义为：
A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x /∈ B)或者(x /∈ A 并且 x ∈ B)}

例子：

• 集合 {1, 3, 5} 和集合 {1, 2, 3} 的对称差集是 {2, 5};
• 若集合 A 是选修了音乐欣赏的学生，B 是选修了西方文学的学生，则 A ⊕ B 是只
  选修了音乐欣赏和西方文学两门课中某一门的学生.

并集和交集的扩展

设 A1,A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合
成员的元素的集合，即

设 A1,A2, · · · , An 是任意 n 个集合，则这 n 个集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成
员的元素的集合，即
例子：
设 A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 3, 6, 9}，则
A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} A ∩ B ∩ C = {0}

集合运算的基本等式

文氏图理解：

集合相等的证明

自然数集的定义

如何比较集合的大小

等势

可数集合

不可数集合