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RSS订阅原创 离散数学-逻辑与证明基础1.8（证明方法和策略）
不超过 100 的正整数的平方为 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 和 100。解答：最小的完全平方数是 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225，等等。我们注意到作为平方数最后一位数字的数字是 0, 1, 4, 5, 6, 和 9，数字 2, 3, 7 和 8 从未出现为平方数的最后一位数字。我们可以反向推导，证明第一个玩家可以始终采取合适的行动，无论第二个玩家如何行动，以确保胜利。
2024-11-16 18:44:55
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原创 离散数学-逻辑与证明基础1.6（推理规则）
证明以下前提“今天下午不是晴天并且比昨天冷”，“只有在晴天时我们才会去游泳”，“如果我们不去游泳，那么我们将去划独木舟”，以及“如果我们去划独木舟，那么我们将在日落前到家”能够得出结论“我们将在日落前到家”。证明以下前提“该班级的一名学生没有读过这本书”和“该班级的每个人都通过了第一次考试”可以得出结论“通过第一次考试的人中有人没有读过这本书”。“如果今天下雨，那么我们今天不会有烧烤。解答：设 p 表示“今天下雨”，设 q 表示“今天不会有烧烤”，设 r 表示“明天会有烧烤”。
2024-11-14 19:24:45
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原创 基础物理-力和运动一
对于无质量的绳子（质量可以忽略不计的绳子），绳子两端的拉力大小相等，为 T。即使绳子绕过一个无摩擦的滑轮（质量和轴上的摩擦力可以忽略的滑轮），两端的拉力仍保持 T 大小。它们的大小是通过它们对标准千克物体产生的加速度来定义的。如果物体上没有合力作用，那么该物体将保持静止（如果它最初是静止的），或者以恒定速度沿直线运动（如果它在运动中）。物体的速度可以改变（物体可以加速），当物体受到来自其他物体的一个或多个。是将该物体的加速度与引起该加速度的合力联系起来的特性。是物体受到的来自物体所压表面的力。
2024-11-14 19:00:03
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原创 离散数学-逻辑与证明基础1.5（量词嵌套）
将语句 “If a person is female and is a parent, then this person is someone’s mother” 表示为涉及谓词、定义域为所有人、量词和逻辑连接词的逻辑表达式。翻译此类表达式的第一步是写出量词和谓词的含义。解答：为了将此陈述翻译为逻辑表达式，我们首先将隐含的量词和定义域表示出来：“对于每两个整数，如果这些整数都是正数，那么这些整数的和为正数。这说明了在陈述中嵌套全称量词的顺序不会影响量化陈述的含义，而其他量词可以更改而不改变量化语句的含义。
2024-10-27 15:09:32
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原创 Spark教程5-基本结构化操作
合并Schema和Rows为DataFrames。拥有同样的Schema以及columns才能合并。使用Schema读取csv文件，以指定数据类型。加载csv文件为DataFrames。
2024-10-25 07:57:58
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原创 Mac安装Spark
这将启动一个 Python 交互式的 Spark Shell。Step 1: Spark需要Java运行环境，需要先安装JDK。这将启动一个 Scala 交互式的 Spark Shell。Step 1: 启动 Spark Shell。Step 1: 编写 PySpark 脚本。Step 2: 运行 PySpark 脚本。Step 3: 解压 Spark 压缩包。Step 2: 启动 PySpark。Step 2: 下载 Spark。Step 4: 配置环境变量。
2024-10-25 05:15:15
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原创 微积分-反函数6.8（不定式和洛必达法则）
洛必达法则指出，对于可导的函数f和gx→alimfx0andx→alimgx0或x→alimfx±∞andx→alimgx±∞并且gx0在包含ax→alimgxfxx→alimgxfx求limx→1x−1lnx。因为limx→1lnxln10， 且limx→1x−10所以该极限是00。
2024-10-17 07:24:28
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原创 离散数学-逻辑与证明基础1.4（谓词和量词）
谓词1.4.2 谓词涉及变量的语句，例如：“x>3x > 3x>3”，“x=y+3x = y + 3x=y+3”，“x+y=zx + y = zx+y=z”以及\quad“Computer xxx is under attack by an intruder”\quad“Computer xxx is functioning properly”经常出现在数学表达式、计算机程序和系统规范中。当变量的值没有被指定时，这些语句既不为真也不为假。在本节中，我们将讨论如何从这些语句中构
2024-10-12 10:03:31
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原创 离散数学-逻辑与证明基础1.3（命题等价）
定义 1一个复合命题，如果无论其中命题变量的真值如何，它总是为真，则称为重言式一个复合命题，如果它总是为假，则称为矛盾式一个既不是重言式也不是矛盾式的复合命题称为偶然式例1我们可以使用一个命题变量来构造永真式和矛盾式的例子。请考虑p∨¬pp∨¬p和p∧¬pp∧¬p的真值表，如表 1 所示。由于p∨¬pp∨¬p始终为真，因此它是一个永真式。由于p∧¬pp∧¬p始终为假，因此它是一个矛盾式。
2024-10-11 17:00:51
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原创 离散数学-逻辑与证明基础1.2（命题逻辑的应用）
最后，为了查找有关墨西哥（而不是新墨西哥州）大学的网页，我们可能会先查找符合条件 “MEXICO AND UNIVERSITIES” 的网页，但由于此搜索的结果将包括有关新墨西哥州的大学以及墨西哥的大学的网页，因此可能更好地搜索符合条件 “(MEXICO AND UNIVERSITIES) NOT NEW” 的网页。从不说谎的女王告诉你，这些铭文中只有一个是对的，而另外两个是错的。此外，如果 B 是无赖，那么 B 所说的“我们两个人是相反类型的”是假的，这与 A 和 B 都是无赖这一结论一致。
2024-10-11 12:34:07
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原创 微积分-反函数6.6（反三角函数）
在本节中，我们应用 6.1 节的思想来找到所谓反三角函数的导数。在这个任务中，我们遇到了一些困难：由于三角函数不是一对一的，它们没有反函数。这个困难通过限制这些函数的定义域，使其成为一对一的函数，从而得到解决。从图 1 可以看到，正弦函数 y=sinxy = \sin xy=sinx 不是一对一的函数（使用水平线测试）。但是函数 f(x)=sinxf(x) = \sin xf(x)=sinx 在 −π2≤x≤π2-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}−2π≤
2024-10-09 11:42:20
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原创 微积分-反函数6.5（指数增长和衰减）
在许多自然现象中，数量的增长或衰减与其大小成正比。例如，如果yft表示在时间t时某种动物或细菌种群的个体数量，那么似乎可以合理地假设增长速率ft与种群ft成正比，即ftkft，其中k是某个常数。实际上，在理想条件下（无限的环境、充分的营养、免疫疾病），该方程ftkft相当准确地预测了实际发生的情况。另一个例子出现在核物理学中，放射性物质的质量以与其质量成正比的速率衰减。在化学中，一阶单分子反应的反应速率与物质的浓度成正比。
2024-10-05 13:32:55
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原创 微积分-反函数6.4（对数函数的导数）
在本节中，我们将找到对数函数ylogbx和指数函数ybx的导数。我们从自然对数函数ylnx开始。我们知道它是可导的，因为它是可导函数yex的反函数。dxdlnxx11证明 设ylnx。eyx对该方程关于xeydxdy1dxdyey1x1求导数ylnx31。使用链式法则，我们令ux31。则ylnudxdydudy⋅dxduu1。
2024-10-03 08:36:24
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原创 微积分-反函数6.3（对数函数）
如果b0且b1，则指数函数fxbx不是递增就是递减，因此它是通过水平线测试的单调函数。所以它具有反函数f−1，称为以b为底的对数函数，记作logb。f−1xy⟺fyxlogbxy⟺byx1因此，如果x0，则logbx是底数b必须升到的指数以得到x。求解下列对数：(a)log381, (b)log255, (c)log100.001(a)log3814，因为3。
2024-09-29 07:12:56
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原创 微积分-反函数6.2（指数函数及其导数)
函数 f(x)=2xf(x) = 2^xf(x)=2x 被称为指数函数，因为变量 xxx 是指数。它不应与幂函数 g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2 混淆，在幂函数中，变量是底数。一般来说，指数函数是形如f(x)=bxf(x) = b^xf(x)=bx的函数，其中 bbb 是一个正常数。让我们回顾一下这意味着什么。如果 x=nx = nx=n，是一个正整数，那么bn=b⋅b⋅⋯⋅bb^n = b \cdot b \cdot \cdots \cdot bbn=b⋅b⋅⋯⋅b如果 x
2024-09-22 04:59:53
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原创 基础物理-二维和三维运动4
4-1 位置和位移位置和位移在定位一个粒子（或类粒子物体）时，常用的位置矢量 r⃗\vec{r}r，它是从参考点（通常是原点）到粒子的矢量。在模块3-2的单位矢量表示法中，r⃗\vec{r}r 可以表示为：r⃗=xi^+yj^+zk^(4-1)\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \tag{4-1}r=xi^+yj^+zk^(4-1)其中，xi^x\hat{i}xi^、yj^y\hat{j}yj^ 和 zk^z\hat{k}zk^是 r⃗\ve
2024-09-18 14:07:30
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原创 微积分-反函数6.1（反函数）
表1提供了一项实验的数据，其中细菌培养物在有限营养基中以100个细菌开始；在定时记录下细菌数量随时间的变化。细菌数量 NNN 是时间 ttt 的函数：N=f(t)N = f(t)N=f(t)。然而，假设生物学家改变了她的观点，开始对细菌群体达到不同水平所需的时间感兴趣。换句话说，她将时间 ttt 视为 NNN 的函数。这个函数称为 fff 的反函数，记作 f−1f^{-1}f−1，读作“fff 的反函数”。因此，t=f−1(N)t = f^{-1}(N)t=f−1(N) 是细菌群体达到数量 NNN 所需的
2024-09-17 10:21:06
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原创 基础物理-直线运动2
2-1 位置、位移和平均速度位置与位移为了确定物体的位置，通常需要相对于某个参考点来测量，这个参考点通常是某个坐标轴的原点（或零点），如图 2-1 中的 x 轴。坐标轴的正方向是坐标增大的方向，在图 2-1 中，正方向指向右方。相反的方向则为负方向。例如，一个粒子可能位于 x=5x = 5x=5 米处，这意味着它在原点的正方向上距离原点 5 米。如果它位于 x=−5x = -5x=−5 米处，则它在原点的相反方向上距离原点也是 555 米。在坐标轴上，−5-5−5 米的坐标比 −1-1−1 米的坐标
2024-09-15 17:21:10
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原创 微积分-积分应用5.5（函数的平均值）
的温度，我们可能会想知道是否有某个特定时间点，此时的温度等于平均温度。对于图 1 中显示的温度函数，我们看到有两个这样的时间点——一个接近中午前，另一个接近午夜之前。增大，那么我们将计算大量的密集分布的值的平均值。但是，如果可以进行无限多次的温度读取，如何计算一天中的平均温度呢？积分形式的均值定理是微分均值定理和微积分基本定理的一个推论。上是连续的，积分形式的均值定理表明，存在一个。上的平均速度与其在旅程中速度的平均值是相同的。几何上，积分均值定理的解释是，对于正函数。这是根据定积分的定义得到的结果。
2024-09-10 17:25:24
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原创 微积分-积分应用5.4（功）
术语“功”在日常语言中用来表示完成一项任务所需的总努力量。在物理学中，它有一个依赖于“力”概念的技术含义。直观上，你可以将力理解为对物体的推或拉——例如，一个书本在桌面上的水平推动，或者地球对球的向下拉力。一般来说，如果一个物体沿着一条直线运动，位置函数为 s(t)s(t)s(t)，那么物体上的力 FFF（与运动方向相同）由牛顿第二运动定律给出，等于物体的质量 mmm 与其加速度 aaa 的乘积：F=ma=md2sdt2F = ma = m \frac{d^2s}{dt^2}F=ma=mdt2d2s
2024-09-08 09:22:26
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原创 基础物理-向量3
标量和向量标量，如温度，仅具有大小。它们通过一个带有单位的数字（例如 10°C）表示，并遵循算术和普通代数的规则。向量，如位移，既具有大小又具有方向（例如 5 米，向北），并遵循向量代数的规则。几何法加向量两个向量a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b可以通过几何法相加，即将它们按照共同的比例绘制，并首尾相接放置。连接第一个向量的尾部和第二个向量的头部的向量就是向量和s⃗\vec{s}s。要从a⃗\vec{a}a中减去b⃗\vec{b}b，反转b⃗\vec{b}b。
2024-09-06 17:25:12
908
原创 微积分-积分应用5.3（圆柱壳体积）
比较例 1 的解法与本节开头的说明，我们可以看到，对于这个问题，圆柱壳的方法比垫圈法要容易得多。如果我们决定某一个变量更容易处理，那么这就决定了我们使用的方法。画一个区域中的样本矩形，对应于该固体的截面。记住公式 2 的最好方法是把它想象成一个典型的壳体，并且将其展开和压平如图 5 所示，半径为。但是，要计算垫片的内半径和外半径，我们必须将三次方程。为了使用壳法，我们将。的方法，在这种情况下更容易使用。从图 6 的草图中，我们看到一个典型的壳体的半径为。然而，在其他例子中，上一节的方法可能更容易。
2024-09-06 10:04:58
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原创 微积分-积分应用5.2（体积）
在尝试找到一个固体的体积时，我们面对的问题与寻找面积时相同。我们对体积的概念有直观的理解，但我们必须通过使用微积分来精确定义体积。我们从一种简单类型的固体——称为柱体（或更准确地说，直柱体）——开始。如图1(a)所示，柱体由一个称为底面的平面区域 B1B_1B1 和一个平行平面中的全等区域 B2B_2B2 所界定。柱体由所有垂直于底面并将 B1B_1B1 与 B2B_2B2 连接的线段上的点组成。如果底面的面积为 AAA 且柱体的高度（即从 B1B_1B1 到 B2B_2B2 的距离）为 hh
2024-09-04 09:32:37
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原创 微积分-积分应用5.1（曲线之间的面积）
因此，这些曲线之间的面积，即曲线下面积的差值，是16秒后两辆车之间的距离。这看起来是一个非常难以精确求解的方程（事实上，它几乎不可能精确求解），因此我们使用图形设备绘制图7中的两条曲线。有时确切找到两个曲线的交点是困难的，甚至是不可能的。注意，在图5中，左侧边界缩小为一个点，而在图3中，右侧边界缩小为一个点。就像我们在第4.1节中对曲线下方的面积所做的那样，我们将区域S划分为宽度相等的n个条带，然后用一个底为。的图像下方的区域，而我们对面积（1）的通用定义则简化为我们在前面（定义 4.1.2）给出的定义。
2024-08-28 09:41:32
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原创 微积分-定积分4.5（换元法则）
由于基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的缘故，能够找到反导函数（即反微分）是非常重要的。但我们现有的反导函数公式并没有告诉我们如何计算类似以下形式的积分：(1)∫2x1+x2 dx(1) \quad \int 2x \sqrt{1 + x^2} \, dx(1)∫2x1+x2dx为了计算这个积分，我们使用引入“额外元素”的问题求解策略。这里的“额外元素”就是一个新变量；我们将变量 xxx 转换为一个新变量 uuu。假设我们让 uuu 等于公式 (1) 中根号
2024-08-23 10:38:33
812
原创 微积分-定积分4.4（不定积分和净变化定理）
我们在 4.3 节中看到，微积分基本定理的第二部分为求解函数的定积分提供了一种非常强大的方法，前提是我们能够找到该函数的一个反导数。在本节中，我们将介绍反导数的记号，回顾反导数的公式，并用它们来计算定积分。我们还重新表述了微积分基本定理的第二部分（FTC2），使其更容易应用于科学和工程问题。
2024-08-21 11:25:30
1210
原创 微积分-定积分4.3（微积分基本定理）
微积分基本定理之所以得名是因为它建立了微积分的两个分支之间的联系：微分学和积分学。微分学源于切线问题，而积分学则源于一个看似无关的问题，即面积问题。牛顿在剑桥的导师Isaac Barrow（1630–1677）发现这两个问题实际上密切相关。实际上，他意识到微分和积分是互为逆过程的。微积分基本定理精确地揭示了导数和积分之间的逆关系。正是牛顿和莱布尼茨利用这一关系，将微积分发展成为一种系统的数学方法。特别是，他们发现基本定理使得他们无需像我们在第4.1和4.2节中那样通过求和的极限来计算面积和积分。gx。
2024-08-20 06:25:00
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原创 微积分-积分4.2（定积分）
我们在4.1节中看到，以下形式的极限limn→∞∑i=1nf(xi∗)Δx=limn→∞[f(x1∗)Δx+f(x2∗)Δx+⋯+f(xn∗)Δx]\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x = \lim_{n \to \infty} [f(x_1^*) \Delta x + f(x_2^*) \Delta x + \cdots + f(x_n^*) \Delta x]n→∞limi=1∑nf(xi∗)Δx=n→∞lim[f(x1∗
2024-08-16 17:11:27
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原创 微积分-微分应用6（使用微积分和计算器绘图）
例一 画出多项式 f(x)=2x6+3x5+3x3−2x2f(x) = 2x^6 + 3x^5 + 3x^3 - 2x^2f(x)=2x6+3x5+3x3−2x2 的图像。使用 f′f'f′ 和 f′′f''f′′ 的图像来估计所有的极大值和极小值点及凹凸区间。解如果我们只指定一个定义域而不指定一个值域，许多图形设备会根据计算出的值推断出一个合适的值域。图1显示了在我们指定 −5≤x≤5-5 \le x \le 5−5≤x≤5 时某个设备绘制的图像。虽然这个视图矩形对于显示渐近行为（或端点行为）与 y=
2024-07-31 13:58:34
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