第10章 小波分析用于信号去噪

噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收信源信息进行理解或分析的各种因素。一般来说，实际信号在采集、获取以及传输的过程中，往往要受到噪声的污染，成为影响视觉质量的含噪信号。
在小波去噪中，小波系数模型非常重要，只有在成功的小波系数模型上，才可能提出成功的小波去噪方案。小波系数模型主要分为层间模型、层内模型和混合模型。其中：层间模型主要是考虑跨尺度系数之间关系的模型；层内模型主要考虑层内系数的统计分布，以及相邻系数之间的关系；而混合模型是综合考虑了层间和层内小波系数关系的模型。
本章从实践角度出发，首先介绍去噪的基本原理与方法；其次，介绍有关MATLAB小波工具箱中的去噪函数，并且将不惜篇幅地列举去噪的算例供读者参考；最后，介绍语音信号的去噪原理与实例。
学习目标：
(1)了解小波去噪的原理和方法
(2)熟练掌握MATLAB中小波去噪函数
(3)熟练掌握一维小波工具箱对信号去噪
(4)掌握语音信号去噪的方法
10.1 信号去噪原理
在去噪领域中，小波理论由于其特殊的优点受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪，并获得了非常好的效果。
10.1.1 小波去噪概述
噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收信息进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识。噪声主要在信号的获取(量化)和传输中产生。
声音信号和图像信号的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程都不可避免地会受到噪声的影响。固有噪声包括影像系统的结构噪声、光源噪声、模拟电路噪声、光电转换和模/数转换过程中产生的电器系统噪声等，它们都是以高斯分布的白噪声的形式存在。
一个含噪声的一维信号模型可以表示为
 ，其中，s(t)为原始信号，f(t)为含噪声的信号，e(t)为噪声。小波去噪模型的基本依据是：
(1)信号和噪声的小波系数在不同尺度上有着不同的特征表现；
(2)对于空间不连续函数，大部分行为集中在小波空间的一小部分子集内；
(3)噪声污染了所有的小波系数，且贡献相同；
(4)噪声向量是高斯形式，它的正交变换也是高斯形式。
我们可以将噪声看成是一个普通的信号，对它进行小波分析。如果它是一个平稳、零均值的白噪声，则它的小波分解系数是不相关的，并且高频系数的幅值随着分解层次的增加而很快地衰减，同时高频系数的方差也很快地衰减；如果是一个高斯噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布。
当对噪声e进行小波分解时，它同样会产生高频系数，所以，一个含噪声信号的高频系数分量是有用信号f和噪声信号e的高频系数的叠加。Grossmann证明白噪声的方差和幅值随着小波变换尺度的增加会逐渐减小，而信号的方差和幅值与小波变换的尺度变化无关。
根据白噪声和信号的不同小波变换特性，就可以对信号进行降噪处理。用小波进行信号的去噪可以很好地保存有用信号中的尖峰和突变部分，而去噪的关键就是对小波系数的量化处理。
长期以来，在信号处理方面，人们所使用的最基本的数学工具就是傅立叶变换。但是，傅立叶变换是一种全局的变换，无法表述信号的时频双域局部特性，只能反映信号的整体特征。而在不少实际问题中，人们所关心的却是信号在局域范围中的特征，例如：音乐和语音信号中，人们关心的是在什么时刻演奏什么音符，发出什么音节；对人工地震波的记录，人们关心的是在什么位置出现了什么反射波；对图像处理中的边沿识别，关心的是信号的突变位置等。小波变换正是弥补这一不足的强有力的工具。
小波变换理论是近20年中才发展起来的一个数学分支，目前它仍然是国际上极为活跃的研究领域。小波变换的分析窗口大小(窗口面积)固定但其形状可改变，小波变换是时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。这种自适应性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。
小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，不仅可将图像的结构和纹理分别表现在不同分辨率层次上，而且具有检测边沿(局域突变)的能力，因此，利用小波变换在去除噪声时，可提取并保存对视觉起主要作用的边沿信息。
而传统的傅立叶变换去噪方法在去除噪声和边沿保持上存在着矛盾，原因是傅立叶变换方法在时域不能局部化，难以检测到局域突变信号，在去除噪声的同时，也损失了图像边沿信息。
由此可见，与傅立叶变换去噪方法相比，小波变换去噪方法具有明显的优越性。它的成果已被广泛应用于图像处理、语声人工合成、地震勘探、大气湍流、天体识别以及机器视觉等众多领域。具体说来，小波去噪的成功主要在于小波变换有如下特点。
(1)低熵性。小波系数的稀疏分布使图像变换后的熵降低。
(2)多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布特点进行去噪。
(3)去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。
(4)选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同相应场合，可以选择不同的小波母函数。
小波分析是时频分析方法，具有良好的时频局部性，并且有快速算法(Mallat算法)加以实现。这样，小波变换理论就为噪声消除问题提供了一个新的思路，其应用也日渐广泛。
10.1.2 基于模极大值去噪法
从理论上讲，去噪的原理是：信号的Lipschitz指数是大于0的，噪声的Lipschitz指数
 可能小于0。因此，随着尺度的增大，信号和噪声所对应的小波变换系数分别是增大和减小。
根据不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点，保留幅度随尺度增加而增加的点，然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，从而达到去噪的目的。
1992年，Mallat提出用奇异点模极大值法检测信号的奇异点，根据有用信号与噪声在奇异性上存在差异，采用多分辨率理论，由粗及精地跟踪各尺度 j 下的小波变换极大值来消除噪声。
10.1.3 小波阈值去噪
噪声在的小波分解有以下特性：如果信号 n(t)是一个平稳、零均值的白噪声，则其小波分解系数是不相关的；如果信号 n(t)是一个高斯白噪声，则其小波分解系数是独立的，也是高斯分布的；如果信号 n(t)是一个有色、平稳、零均值的高斯噪声序列，则其小波分解系数也是高斯序列。
对每一尺度，其系数也是一个有限、平稳的序列。Donoho提出的小波阈值去噪方法是工程中应用最广泛的方法，其基本思想是：一个含噪声的一维信号模型可以表示为f(t)=s(t)+n(t)，其中，s(t)为原始信号，n(t)是方差为σ2
 的高斯白噪声，服从N(0，σ2
 )。
由于小波变换是线性变换，对f(t)作离散小波变换后得到的小波系数仍由两部分组成：一部分是信号对应的小波系数，另一部分是噪声对应的小波系数。基于有用信号和噪声在经小波变换后具有不同的统计特性：有用信号的能量对应着幅值较大的小波系数，噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。
一般来讲，经过小波分解后，信号的系数要大于噪声的系数，于是可以找到一个合适的数λ作为阈值，当分解系数小于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当分解系数大于这个临界阈值时，认为这时的分解系数主要是由信号引起的，就把这一部分直接保留下来(硬阈值方法)或者按照某一固定量向零收缩(软阈值方法)，然后用得到的小波系数进行小波重构，即为去噪后的信号。
Donoho提出的硬阈值函数为：
软阈值函数为：
其中：
 分别为经去噪处理前后的小波变换系数s，ign(.)为符号函数，阈值λ取为
 是对噪声水平的估计值，M是信号的长度。
下面介绍关于阈值去噪的方法。
通常叠加性高斯白噪声是最常见的噪声模型，受到叠加性高斯白噪声“污染”的观测信号可以表示为：
其中：di
 为含噪信号，fi
 为“纯净”采样信号，zi 为独立同分布的高斯白噪声N(0，1)(用符号可表示为zi
 ～N(0，1)，ε为噪声水平，信号长度为N。
为了从含噪信号 di
 中还原出真实信号 fi
 ，可以利用信号和噪声在小波变换下的不同特性，通过对小波分解系数进行处理来达到信号和噪声分离的目的。
在实际工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号，所以我们可以先对含噪信号进行小波分解(如进行三层分解)：
其中：cAi
 为分解的近似部分，cDi
 为分解的细节部分，i=1，2，3，则噪声部分通常包含在cD1
 、cD2
 、cD3
 中，用门限阈值对小波系数进行处理，重构信号即可达到去噪的目的。总结去噪过程，可以分成以下3个步骤：
(1)利用小波变换将实际自然图像变换为小波域；
(2)对小波系数运用非线性收缩规则进行处理；
(3)将阈值化处理后的小波系数进行小波反变换得到去噪图像。
由此可以看出：这3个步骤中，第二步是小波收缩去噪的关键，即小波收缩去噪的关键是小波收缩阈值和小波函数的选取。
10.1.4 平移不变量法
平移不变量小波去噪法是在阈值法基础上作出的改进。采取阈值法去噪时，当信号具有突变的不连续点或当信号具有较低的信噪比时，小波变换去噪就有可能表现出伪吉布斯(Pseudo-Gibbs)现象，即在应有信号电平上出现随机的正脉冲和负脉冲，并且它的大小与信号不连续点的位置紧密相连，由于一个信号中可能包含几个不连续点，它们之间会相互干扰，也即对于一个不连续点的最佳平移可能是另一个不连续点的最差平移。
因此，我们不采用单一平移，而是通常采用n次循环平移，对平移后的信号用阈值法进行去噪处理，然后再对每次平移去噪后的结果进行平均，即所谓“平移－去噪－平均”的平移不变量小波去噪法。
例如，当采用Haar小波时，位于n/2处的不连续点就不会表现出伪吉布斯现象，而位于n/3处的不连续点则会明显地表现出Pseudo-Gibbs现象，可以通过预先的平移使原来不在n/2位置的奇异点平移到n/2位置，抑制Pseudo-Gibbs现象的产生，然后再通过反向的平移恢复到同原始信号一样的排列次序，从而达到去噪的目的。
对于一个信号f(t)(0≤t≤N-1)，定义Fn
 为平移n 位的平移算子：Fn
 (f(t))=f(t+n) mod(N)，其中n为平移量。由于Fn
 是一一对应的，所以得：
设信号阈值去噪过程为一个分析运算T，通过平移过程可以表示为：
其中，
 为原始信号f经过平移不变法去噪后的信号。
10.1.5 其他方法
阈值法的原始信号的恢复效果主要依赖于阈值的选取，如果阈值选取过大，就会消去信号的部分信息；阈值选取过小则会保留过多噪声。
针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，这些方法的共同特点是：在软、硬阈值函数之间作一个折中：当小波系数小于阈值时，不是简单地置零(硬阈值方法)或者按照固定向量向零收缩(软阈值方法)，而是平滑地减少为零。
第一种方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号。
定义1 设
 ，则称CWj，k
 为尺度j上k点处的相关系数。
由于信号在各尺度之间具有一定的相关性，而噪声无此特性，因此尺度空间上的相关运算削弱了噪声，增强了信号的边缘。
为了使得相关系数与小波系数具有可比性，我们定义归一化相关系数。
定义2 设
&