递推法的特点
一个问题的求解需一系列的计算,在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系,在计算时,如果可以找到前后过程之间的数量关系(即递推式),那么,从问题出发逐步推到已知条件,此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推,其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算,充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系(即递推关系)。递推算法避开了求通项公式的麻烦,把一个复杂的问题的求解,分解成了连续的若干步简单运算。一般说来,可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
例题(递推):
数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径,使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。
1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走;
2、 三角形行数小于等于100;
3、 三角形中的数字为0,1,…,99;
测试数据通过键盘逐行输入,如上例数据应以如下所示格式输入:
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
思路:
从递推的思想出发,设想,当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时,我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进,为此,我们可以采用倒推的手法,设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值,则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j],a[i][j]+a[i+1][j+1]},a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。
代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,i,j,a[101][101];
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin>>a[i][j];
for(i=n-1;i>=1;i--)
for(j=1;j<=i;j++)
{
if(a[i+1][j]>=a[i+1][j+1])
a[i][j]+=a[i+1][j];
else a[i][j]+=a[i+1][j+1];
}
cout<<a[1][1]<<endl;
}
例题(斐波那契数列)
满足F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2的数列称为斐波那契数列(Fibonacci),
它的前若干项是1,1,2,3,5,8,13,21,34……求此数 列第n项(n>=3)。
即:f1=1(n=1) f2=1(n=2) fn=fn-1 + fn-2(n>=3)
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
int f0=1,f1=1,f2;
int n;
cin>>n;
for(int i=3;i<=n ++i)
{
f2=f0+f1;
f0=f1;
f1=f2;
}
printf("%d\n",f2);
return 0;
}