MBR（最小边界矩形，Minimum Bounding Rectangle）

秋夫人

已于 2024-09-18 09:29:04 修改

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于 2024-09-18 07:52:26 首次发布

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概念

MBR（最小边界矩形，Minimum Bounding Rectangle）是一种在空间数据库和地理信息系统（GIS）中常用的概念，用于描述空间对象的外接矩形。MBR是一个简单的矩形，它紧密地包围着一个或多个空间对象（如点、线、多边形等），使得这个矩形的边界在每个维度上都是对象的最小和最大坐标值。MBR是一种用于空间索引和空间查询优化的基本工具。

MBR的特点

简化表示：MBR提供了一种简化的方式来表示复杂的空间对象，便于进行快速的空间运算和查询。
空间索引：在空间数据库中，MBR常用于构建空间索引，如R树，以提高空间查询的效率。
查询优化：MBR可以用于空间查询的初步筛选，如范围查询和相交查询，通过比较MBR来快速排除不可能满足条件的对象。

MBR的应用

空间索引构建：在R树等空间索引结构中，每个节点存储了子节点或空间对象的MBR，以优化查询性能。
空间查询：在执行空间查询时，如查找一个区域内的所有对象，可以先通过MBR进行快速筛选，减少需要详细检查的对象数量。
地理信息系统（GIS）：GIS中的空间分析和地图渲染经常利用MBR来优化处理流程。
碰撞检测：在计算机图形学和游戏开发中，MBR可以用于快速判断对象是否可能发生碰撞，作为更精确碰撞检测的预处理步骤。

MBR的计算

对于一个空间对象，其MBR可以通过以下步骤计算得到：

确定最小坐标：在每个维度上找到对象的最小坐标值。
确定最大坐标：在每个维度上找到对象的最大坐标值。
构建矩形：使用这些最小和最大坐标值在每个维度上构建矩形。

注意事项

虽然MBR在空间数据处理中非常有用，但它也有局限性。MBR可能会包含实际空间对象之外的空间，这在对象形状复杂或分布不均匀时尤其明显。因此，在使用MBR进行空间查询时，可能需要进一步的精确检查以确认查询结果的准确性。

图示

假设我们有一个不规则多边形，它由以下四个顶点定义：

A(2, 3)
B(5, 1)
C(7, 4)
D(4, 6)

我们想要找到能够完全包围这个多边形的最小边界矩形（MBR）。

计算MBR

确定X坐标的最小和最大值：
- 最小X坐标是2（点A的X坐标）。
- 最大X坐标是7（点C的X坐标）。
确定Y坐标的最小和最大值：
- 最小Y坐标是1（点B的Y坐标）。
- 最大Y坐标是6（点D的Y坐标）。
构建MBR：
- 使用这些坐标值，我们可以构建一个矩形，其左下角坐标是(2, 1)，右上角坐标是(7, 6)。

MBR的表示

因此，MBR的四个顶点分别是：

左下角：(2, 1)
左上角：(2, 6)
右上角：(7, 6)
右下角：(7, 1)

可视化

7 |                     
6 |          *     D          *
5 |                     
4 |                            C
3 |          A                
2 |                        
1 |          *         B       *
0 +  —   —   —  —   —   —  —   — —
     0   1   2  3   4   5  6   7

在这个图中，多边形由点A、B、C、D按顺序连接形成，而MBR则是由坐标(2,1)、(2,6)、(7,6)、(7,1)形成的矩形。请注意，这个图是一个简化的表示，实际的多边形和MBR可能会根据具体坐标有所不同。

这个MBR完全包围了原多边形，并且是能够包围该多边形的最小矩形。通过MBR，我们可以快速进行空间查询，如判断其他空间对象是否与这个多边形相交。

计算距离

有几种常用的方法来计算MBR之间的距离，每种方法都有其特定的应用场景。以下是几种常见的距离计算方法：

1. 中心点距离

这是最简单的方法之一，计算两个MBR中心点之间的欧几里得距离。

步骤：

计算每个MBR的中心点坐标。
使用欧几里得距离公式计算这两个中心点之间的距离。

公式：

distance = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)

其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是两个MBR的中心点坐标。

2. 最小边缘距离

这种方法计算两个MBR之间的最小距离，即从一个MBR的边缘到另一个MBR的边缘的最短距离。

步骤：

对于每个维度，计算两个MBR在该维度上的重叠或间隔。
如果有重叠，该维度的距离为0。
如果没有重叠，计算边缘之间的最小距离。
使用欧几里得距离公式组合各维度的距离。

公式（二维情况）：

dx = max(0, max(MBR1.left, MBR2.left) - min(MBR1.right, MBR2.right))
dy = max(0, max(MBR1.bottom, MBR2.bottom) - min(MBR1.top, MBR2.top))
distance = sqrt(dx^2 + dy^2)

3. 最大边缘距离

类似于最小边缘距离，但计算的是两个MBR之间的最大距离。

4. 豪斯多夫距离（Hausdorff Distance）

这是一种更复杂的距离度量，考虑了两个MBR中所有点之间的最大最小距离。

5. 重叠面积（用于相交MBR）

对于相交的MBR，可以使用重叠面积的倒数作为"距离"的度量。重叠面积越大，"距离"越小。

公式：

overlap_area = (min(MBR1.right, MBR2.right) - max(MBR1.left, MBR2.left)) * 
               (min(MBR1.top, MBR2.top) - max(MBR1.bottom, MBR2.bottom))
distance = 1 / overlap_area  (如果重叠面积不为0)

选择哪种距离计算方法取决于具体的应用场景和需求：