——红黑树

1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2.红黑树的性质

（1）每个结点不是红色就是黑色；

（2）根节点是黑色的 ；

（3）如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 ；

（4） 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点；

（5）每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)。

3.红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
 RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
     : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
     , _data(data), _color(color)
 {}
 RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;   // 节点的左孩子
 RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子
 RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
出该字段)
 ValueType _data;            // 节点的值域
 Color _color;               // 节点的颜色
};

4.红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

        1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template<class ValueType>
class RBTree
{
    //……
 bool Insert(const ValueType& data)
 {
 PNode& pRoot = GetRoot();
 if (nullptr == pRoot)
 {
 pRoot = new Node(data, BLACK);
 // 根的双亲为头节点
 pRoot->_pParent = _pHead;
            _pHead->_pParent = pRoot;
 }
 else
 {
 // 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
             // 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
 //   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
 }
 // 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
 pRoot->_color = BLACK;
 _pHead->_pLeft = LeftMost();
 _pHead->_pRight = RightMost();
 return true;
 }
private:
 PNode& GetRoot(){ return _pHead->_pParent;}
 // 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
 PNode LeftMost();
 // 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
 PNode RightMost();
private:
 PNode _pHead;
};

        2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

        情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

如果g是根节点，调整完成后，需要将g改为黑色；

如果g是子树，g一定有双亲，且g的双亲如果是红色，需要继续向上调整。

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

        情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

说明：u的情况有两种

1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4。

2.如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其实红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色。

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；

相反， p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转；

p、g变色--p变黑，g变红

        情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；

相反， p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转；

针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data)
{
    // ...
    // 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结
点
 while(pParent && RED == pParent->_color)
 {
        // 注意：grandFather一定存在
  // 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
 PNode grandFather = pParent->_pParent;
        // 先讨论左侧情况
 if(pParent == grandFather->_pLeft)
 {
 PNode unclue = grandFather->_pRight;
 // 情况三：叔叔节点存在，且为红
 if(unclue && RED == unclue->_color)
 {
 pParent->_color = BLACK;
 unclue->_color = BLACK;
 grandFather->_color = RED;
 pCur = grandFather;
 pParent = pCur->_pParent;
 }
 else
 {
 // 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
 if(pCur == pParent->_pRight)
 {
 _RotateLeft(pParent);
 swap(pParent, pCur);
 }
                 // 情况五最后转化成情况四
 grandFather->_color = RED;
 pParent->_color = BLACK;
 _RotateRight(grandFather);
 }
 }
 else
       {
            // 右侧请学生们自己动手完成
       }
 }
    // ...
}

5.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{
     PNode pRoot = GetRoot();
 // 空树也是红黑树
 if (nullptr == pRoot)
 return true;
 // 检测根节点是否满足情况
 if (BLACK != pRoot->_color)
 {
 cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
 return false;
 }
 // 获取任意一条路径中黑色节点的个数
 size_t blackCount = 0;
PNode pCur = pRoot;
 while (pCur)
 {
 if (BLACK == pCur->_color)
 blackCount++;
 pCur = pCur->_pLeft;
 }
 // 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
 size_t k = 0;
 return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
 }
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
    //走到null之后，判断k和black是否相等
 if (nullptr == pRoot)
     {
         if (k != blackCount)
 {
 cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
 return false;
 }
         return true;
     }
 // 统计黑色节点的个数
 if (BLACK == pRoot->_color)
 k++;
 // 检测当前节点与其双亲是否都为红色
 PNode pParent = pRoot->_pParent;
 if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
 {
 cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
 return false;
 }
 return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
    _IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
 }