53、图算法：随机图采样、循环枚举与 motif 分析

图算法：随机图采样、循环枚举与 motif 分析

1. 随机图采样算法

在图论中，有时我们需要生成具有特定度 - 度相关性的随机图。下面介绍的算法基于隐藏变量模型，能够根据给定图 $G$ 生成具有相同度 - 度概率分布的图 $G’$。

1.1 算法步骤

以下是该算法的伪代码：

Algorithm 39 hidden_variable()
Input: G
Output: i, j
1: pkk[][] ← degree_corr_distr(G)
2: rho[] ← compute_rho(pkk[])
3: fhh[][] ← compute_fhh(pkk[])
4: h[] ← sample_node_variables(rho[])
5: K ← 0
6: for n1 in 0 to N-1 do
7:    h1 ← h[n1]
8:    for n2 in i+1 to N-1 do
9:       h2 ← h[n2]
10:      v ← RAND(0,1)
11:      if v < fhh[h1][h2] then
12:         i[K] ← n1
13:         j[K] ← n2
14:         K ← K + 1
15:      end if
16:    end for
17: end for
18: return i, j

具体步骤解释如下：
1. 计算度 - 度概率分布 ：使用 degree_corr_distr(G) 函数，根据输入图 $G$ 中不同度节点对之间的边数 ${e_{kk’}}$ 计算度 - 度概率分布 $p_{kk’}$，结果存储在矩阵 pkk[][] 中。
2. 计算相关参数 ：利用 $p_{kk’}$ 计算 $\rho(h)$ 和 $f(h, h’)$，分别存储在数组 rho[] 和矩阵 fhh[][] 中。
3. 采样隐藏变量 ：使用 sample_node_variables(rho[]) 函数，采用离散逆采样方法为每个节点采样隐藏变量，存储在向量 h[] 中。
4. 生成边 ：通过两层嵌套循环遍历所有节点对，根据隐藏变量 $h_1$ 和 $h_2$ 以及随机数 $v$ 决定是否在节点 $n_1$ 和 $n_2$ 之间创建边。

1.2 复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(N^2)$，因为它会遍历所有可能的节点对，并且每个节点对的计算复杂度为 $O(1)$。算法的初始化部分，包括计算 $p_{kk’}$、$\rho(h)$ 和 $f(h, h’)$，时间复杂度为 $O(N \log N + K)$，但会被 $O(N^2)$ 所主导。

我们可以用以下 mermaid 流程图来表示该算法的主要流程：

graph TD;
    A[输入图 G] --> B[计算 pkk];
    B --> C[计算 rho];
    C --> D[计算 fhh];
    D --> E[采样 h];
    E --> F[初始化 K = 0];
    F --> G[遍历节点对];
    G --> H{是否创建边};
    H -- 是 --> I[记录边];
    H -- 否 --> G;
    I --> J[K 加 1];
    J --> G;
    G --> K[返回边信息];

2. Johnson 循环枚举算法

在图中枚举所有循环是一个具有挑战性的问题，其时间复杂度通常与节点数呈指数关系。下面介绍的 Johnson 算法是一种经典的循环枚举算法，它能够确保每个循环只被访问一次。

2.1 简单算法的复杂度问题

最简单的找长度为 $\ell$ 的循环的算法是考虑所有可能的 $\ell$ 个不同节点的有序序列，然后检查每个序列是否构成循环。在一个有 $N$ 个节点的图中，长度为 $\ell$ 的节点序列有 $N!/(N - \ell)!$ 种。要找到图中长度不超过 $N - 1$ 的所有循环，时间复杂度为 $O(N!)$。即使限制搜索范围为相连节点序列，图中路径的总数仍会随 $N$ 呈指数增长。

2.2 Johnson 算法步骤

以下是 Johnson 算法的伪代码：

Algorithm 40 johnson_cycles()
Input: G
Output: enumerate all the elementary cycles in the graph G
1: st ← stack_new()
2: for s = 0 to N-1 do
3:    for j = s to N-1 do
4:       blocked[j] ← FALSE
5:       B[j] ← ∅
6:    end for
7:    circuit(s, s)
8: end for

该算法的核心是递归函数 circuit(s, v) ，其伪代码如下：

Algorithm 41 circuit()
Input: G, s, v
Output: enumerate all the elementary cycles starting in s and containing v
1: f ← FALSE
2: if v < s then
3:    return f
4: end if
5: stack_push(st, v)
6: blocked[v] ← TRUE
7: for all w in neigh[v] do
8:    if w = s then
9:       stack_dump(st)
10:      f ← TRUE
11:    else
12:       if w > s then
13:          if blocked[w] = FALSE then
14:             if circuit(s,w) = TRUE then
15:                f ← TRUE
16:             end if
17:          end if
18:       end if
19:    end if
20:    if f = TRUE then
21:       unblock(v)
22:    else
23:       for all w in neigh[v] do
24:          if w > s then
25:             add v to B[w]
26:          end if
27:       end for
28:    end if
29: end for
30: stack_pop(st)
31: return f

以及 unblock(v) 函数的伪代码：

Algorithm 42 unblock()
Input: v
1: blocked[v] ← FALSE
2: for all w in B[v] do
3:    remove w from B[v]
4:    if blocked[w] = TRUE then
5:       unblock(w)
6:    end if
7: end for

具体步骤解释如下：
1. 初始化 ：为每个节点 $s$ 初始化 blocked 数组和 $B$ 列表。
2. 递归搜索 ：从节点 $s$ 开始，调用 circuit(s, s) 函数，通过递归的方式构建从 $s$ 出发的基本路径，只考虑顺序大于 $s$ 的节点。
3. 循环检测 ：当找到一个循环时，打印该循环并标记相关节点为已访问。
4. 节点阻塞与解锁 ：使用 blocked 数组和 $B$ 列表来避免重复搜索路径，当检测到循环时，解锁相关节点。

2.3 复杂度分析

Johnson 算法的时间复杂度为 $O((N + K)(c + 1))$，其中 $c$ 是图中循环的数量。虽然该算法不能保证在节点数和边数上呈线性时间，但它是目前市场上寻找图中循环最有效的算法之一。

以下是 Johnson 算法主要流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[输入图 G] --> B[初始化栈 st];
    B --> C[遍历节点 s];
    C --> D[初始化 blocked 和 B];
    D --> E[调用 circuit(s, s)];
    E --> F{是否找到循环};
    F -- 是 --> G[打印循环];
    F -- 否 --> H[标记节点];
    G --> I[解锁节点];
    H --> J[更新 B 列表];
    I --> C;
    J --> C;
    C --> K[结束];

3. 3 - 节点 motif 分析

在有向网络中，我们常常需要分析 3 - 节点 motif 的频率，即计算 13 种不同类型的 3 - 节点弱连通有向图在给定有向图 $G$ 中作为子图出现的频率，并判断它们相对于零模型是欠表示还是过表示。

3.1 算法原理

该算法基于一个观察：同一个未标记的 3 - 节点图对应于 6 种不同的标记图，每种标记图可以通过对三个节点的标签进行 6 种排列得到。我们可以为每个未标记的 3 - 节点图选择一个代表邻接矩阵，通过比较子图的邻接矩阵与代表邻接矩阵来识别子图的类型。

为了将邻接矩阵映射为唯一的整数，我们定义：
$I(A) = 2^0a_{1,1} + 2^1a_{1,2} + \cdots + 2^{N - 1}a_{1,N} + 2^Na_{2,1} + 2^{N + 1}a_{2,2} + \cdots + 2^{N^2 - 2}a_{N,N - 1} + 2^{N^2 - 1}a_{N,N}$

对于 13 种未标记的 3 - 节点图，它们的代表邻接矩阵对应的整数分别为 6, 12, 14, 36, 38, 46, 74, 78, 98, 102, 108, 110 和 238。

3.2 算法步骤

以下是该算法的伪代码：

Algorithm 43 find_subgraphs_3()
Input: G
Output: freq[] {vector of motifs counts}
1: for n in 0 to 12 do
2:    freq[n] = 0
3: end for
4: Gu ← undirected_graph(G)
5: for i in 0 to N-1 do
6:    for j in neighbours(i, Gu) do
7:       if j < i then
8:          continue
9:       end if
10:       for l in neighbours(i, Gu) do
11:          if l = j or l < i or l < j then
12:             continue
13:          end if
14:          I ← get_motif_3(G, i, j, l)
15:          freq[I] ← freq[I] + 1
16:       end for
17:    end for
18: end for
19: return freq

Algorithm 44 get_motif_3()
Input: G, i, j, l
Output: v {id of the motif defined by nodes i, j, l}
1: nodes[0] ← i
2: nodes[1] ← j
3: nodes[2] ← l
4: for r in 0 to 2 do
5:    for c in 0 to 2 do
6:       if is_neighbour(nodes[r], nodes[c], G) then
7:          m[r][c] ← 1
8:       else
9:          m[r][c] ← 0
10:      end if
11:    end for
12: end for
13: v ← motif_number(m)
14: return v

Algorithm 45 motif_number()
Input: m
Output: motif_num {id of the motif corresponding to m}
1: min ← 29
2: for n in 0 to 5 do
3:    m_perm ← permute(m, n)
4:    v ← integer_value(m_perm)
5:    if v < min then
6:       min ← v
7:    end if
8: end for
9: motif_num ← motif_represented_by(min)
10: return motifs_num

具体步骤解释如下：
1. 初始化 ：初始化 freq 数组，用于记录每种 3 - 节点 motif 的频率。
2. 构建无向图 ：将有向图 $G$ 转换为无向图 $Gu$。
3. 遍历 3 - 节点三元组 ：对于图中的每个节点 $i$，考虑所有以 $i$ 为中心的三元组 $(i, j, l)$，其中 $j$ 和 $l$ 是 $i$ 在 $Gu$ 中的邻居，且 $i < j < l$。
4. 识别 motif 类型 ：调用 get_motif_3 函数，构建三元组对应的邻接矩阵，通过 motif_number 函数识别该三元组对应的 3 - 节点 motif 类型。
5. 更新频率 ：根据识别结果更新 freq 数组。

3.3 复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n^{\wedge})$，其中 $n^{\wedge}$ 是图中不同的连通三元组的数量。由于 $n^{\wedge} \leq \sum_{i} k_i(k_i - 1) = N(\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle) = K(\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle - 1)$，所以时间复杂度也可以表示为 $O(K\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle)$。

我们可以用以下表格总结这三种算法的关键信息：
| 算法名称 | 功能 | 时间复杂度 |
| ---- | ---- | ---- |
| 随机图采样算法 | 生成具有特定度 - 度相关性的随机图 | $O(N^2)$ |
| Johnson 循环枚举算法 | 枚举图中所有循环 | $O((N + K)(c + 1))$ |
| 3 - 节点 motif 分析算法 | 计算 3 - 节点 motif 的频率 | $O(K\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle)$ |

以上就是本文介绍的三种图算法的详细内容，它们在图论和网络分析中都有着重要的应用。

图算法：随机图采样、循环枚举与 motif 分析

4. 算法的应用与实践

上述三种图算法在实际的图论和网络分析中有着广泛的应用，下面我们将详细探讨它们的应用场景以及如何在实际中使用这些算法。

4.1 随机图采样算法的应用

随机图采样算法可以用于生成具有特定度 - 度相关性的随机图，这在很多领域都有重要应用。例如，在社交网络分析中，我们可以根据已知社交网络的度 - 度相关性生成随机社交网络模型，用于模拟社交网络的演化和传播过程。

在实际使用该算法时，我们可以按照以下步骤进行操作：
1. 输入图 ：准备一个已知的图 $G$，该图包含我们想要模拟的度 - 度相关性信息。
2. 运行算法 ：调用 hidden_variable() 函数，该函数会根据输入图 $G$ 生成具有相同度 - 度概率分布的图 $G’$。
3. 分析结果 ：对生成的图 $G’$ 进行分析，例如计算其平均度、聚类系数等网络指标，与原始图 $G$ 进行对比，验证算法的有效性。

以下是一个简单的操作流程列表：
1. 定义输入图 $G$。
2. 调用 hidden_variable(G) 函数。
3. 获取输出的边信息 i 和 j 。
4. 根据边信息构建新图 $G’$。
5. 分析新图 $G’$ 的网络指标。

4.2 Johnson 循环枚举算法的应用

Johnson 循环枚举算法可以用于检测图中的循环结构，这在电路设计、交通网络规划等领域有着重要的应用。例如，在电路设计中，检测电路中的循环可以帮助我们发现潜在的短路问题；在交通网络规划中，检测循环可以帮助我们优化交通路线，避免交通拥堵。

在实际使用该算法时，我们可以按照以下步骤进行操作：
1. 输入图 ：准备一个需要检测循环的图 $G$。
2. 运行算法 ：调用 johnson_cycles() 函数，该函数会枚举图 $G$ 中的所有基本循环。
3. 分析结果 ：对枚举得到的循环进行分析，例如计算循环的长度、数量等，根据分析结果进行相应的决策。

以下是 Johnson 算法操作流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[准备图 G] --> B[调用 johnson_cycles(G)];
    B --> C[枚举所有基本循环];
    C --> D[分析循环结果];
    D --> E[根据结果决策];

4.3 3 - 节点 motif 分析算法的应用

3 - 节点 motif 分析算法可以用于分析有向网络中的局部结构，这在生物网络、社交网络等领域有着重要的应用。例如，在生物网络中，分析 3 - 节点 motif 的频率可以帮助我们理解生物分子之间的相互作用机制；在社交网络中，分析 3 - 节点 motif 的频率可以帮助我们发现社交群体中的潜在关系。

在实际使用该算法时，我们可以按照以下步骤进行操作：
1. 输入图 ：准备一个需要分析的有向图 $G$。
2. 运行算法 ：调用 find_subgraphs_3() 函数，该函数会计算图 $G$ 中 13 种不同类型的 3 - 节点 motif 的频率。
3. 分析结果 ：根据计算得到的频率，判断每种 3 - 节点 motif 相对于零模型是欠表示还是过表示，根据分析结果进行相应的研究。

以下是一个简单的操作流程列表：
1. 定义输入有向图 $G$。
2. 调用 find_subgraphs_3(G) 函数。
3. 获取输出的 freq 数组，该数组记录了每种 3 - 节点 motif 的频率。
4. 分析 freq 数组，判断每种 3 - 节点 motif 的表示情况。

5. 总结

本文详细介绍了三种图算法：随机图采样算法、Johnson 循环枚举算法和 3 - 节点 motif 分析算法。以下是这三种算法的关键信息总结表格：
| 算法名称 | 功能 | 时间复杂度 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 随机图采样算法 | 生成具有特定度 - 度相关性的随机图 | $O(N^2)$ | 社交网络分析、网络模拟 |
| Johnson 循环枚举算法 | 枚举图中所有循环 | $O((N + K)(c + 1))$ | 电路设计、交通网络规划 |
| 3 - 节点 motif 分析算法 | 计算 3 - 节点 motif 的频率 | $O(K\langle k^2 \rangle / \langle k \rangle)$ | 生物网络分析、社交网络分析 |

这些算法在图论和网络分析中都有着重要的应用，通过对这些算法的学习和应用，我们可以更好地理解和分析各种网络结构，为实际问题的解决提供有力的支持。

在未来的研究中，我们可以进一步优化这些算法的时间复杂度，提高算法的效率；同时，我们也可以将这些算法应用到更多的领域，探索更多的网络结构和性质。