16、小世界网络模型的变体与特性分析

小世界网络模型的变体与特性分析

在网络研究领域，小世界网络模型有着广泛的应用和研究价值。我们将深入探讨几种小世界网络模型的变体，分析它们的特性和相互关系。

1. 小世界行为的临界概率

对于固定的节点数 (N)，当 (p \gg 1/(2mN)) 时会出现小世界行为。由此可以定义临界概率函数：
[p_c(N) = (2mN)^{-1}]
这个函数表明，在一个阶为 (N) 的图中，为了实现从大世界到小世界的转变，无序程度需要达到一定强度。这里的 (p_c(N)) 是小世界行为出现的临界阈值函数，而非与 (N) 无关的有限临界值，这与随机图模型中某些性质的出现情况类似。

2. WS 模型及其变体

• WS 模型的度分布 ：WS 模型在 (p = 1) 时生成的图并不完全等同于 ER 随机图。例如，该模型中任何顶点的度都大于或等于 (m)。对于顶点 (i)，其度 (k_i = m + n_i)（(n_i \geq 0)），(n_i) 又可分为两部分：(n_{1i} \leq m) 条边以概率 (1 - p) 保留，(n_{2i} = n_i - n_{1i} = k_i - m - n_{1i}) 条边从其他节点重新连接到 (i)，每条边的概率为 (p/N)。度 (k) 的分布为：
  [P_p(k) = \sum_{n = 0}^{\min(k - m, m)} \binom{m}{n} (1 - p)^n p^{m - n} \frac{(mp)^{k - m - n}}{(k - m - n)!} e^{-pm} \quad (k \geq m)]
  当 (p \to