4、图论中的树、欧拉定理及图的表示方法

图论中的树、欧拉定理及图的表示方法

1. 树的概念与实例

树是一种特殊的图，在图的分析和各种应用中非常常见。在所有具有 N 个节点的连通图中，树的边数最少。通常，树被定义为无环的连通图，即连通的无环图。最简单的非平凡树是具有两个节点和两条边的图，称为三元组，通常用符号 ∧ 表示。

与树的概念相关的还有森林，森林是一个图，其所有的连通分量都是树。以下是一些树的例子：
- 具有 17 个节点的树 ：这是一个简单的树的示例，展示了树的基本结构。
- 具有 7 个节点和 12 条边的图的生成树 ：生成树是包含原图所有节点的树，且边数最少。
- 凯莱树（Cayley tree） ：这是一种无限树，每个节点与 z 个邻居相连，z 称为配位数。例如，当 z = 3 时，我们可以通过迭代的方式构建凯莱树。

在现实世界中，树的例子也很常见：
- 印刷材料和教科书 ：它们通常按照章节和子章节的方式组织，形成树状结构。
- 大公司 ：公司的组织架构通常是树状的，总裁位于顶层，每个部门有副总裁等。
- 邮寄地址 ：邮寄地址也是树状结构，先到正确的国家，再到正确的州、城市、街道和门牌号。
- 计算机文件系统 ：每个驱动器是一个独立的文件和目录树的根，任何节点都可以通过从根开始的路径来标识。
- 自然界 ：植物和河流具有树状结构。