16、注册、匹配、识别与结构学习

注册、匹配、识别与结构学习

一、求解最小化问题的替代方法

为了解决最小化问题，可将时间离散为 T 个值，并计算以下函数的梯度：
[E = \sum_{t=1}^{T} \dot{\theta}(t)^T g(\theta(t)) \dot{\theta}(t)]
不过，在某些情况下，(R^{N×T}) 中的导数相当不稳定。除非在每个时间点 (t)，我们找出那些更可能对能量有较大贡献的正交方向，然后仅使用沿这些方向的偏导数来计算梯度。具体步骤如下：
1. 对对称的 (N × N) 张量 (g(\theta)) 进行对角化，得到由特征向量 ({\varphi_1, \ldots, \varphi_N}) 构成的正交基，假设它们对应的特征值按 (\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_N) 排序。
2. 设 (\theta(t)) 是测地线上的未知点，({\varphi_j(t), j = 1, \ldots, N}) 是其特征值，({\lambda_j(t), j = 1, \ldots, N}) 是其特征向量。每个特征值的大小表示对应特征向量所代表方向的重要性。
3. 为了保留一定百分比的变异性和能量 (E(t))，合理地将基截断为 (P \leq N) 个特征向量。如果百分比固定，(P) 可能随时间变化。
4. 得到正交向量 ({\varphi_j(t), j = 1, \ldots, P})，定义 (V_j(t) \in R^{N×T}) 为 ((0, \ldots, 0, \varphi_j(t), 0, \ldots, 0)^T)。
5. 定义 (\partial_{jt}E = \f