77、集合论中的公理、真理与一致性探索

集合论中的公理、真理与一致性探索

1. 连续统假设相关探讨

在集合论的研究中，连续统假设（CH）是一个备受关注的问题。有一种理论与大基数是一致的，虽然我们尚不清楚大基数是否一致，但大基数似乎代表着正确的研究方向。因为否定大基数的存在是不自然的，一旦我们认定大基数公理为真，那么所有与之不相容的命题就必然为假。

对于连续统假设，最初的表述并非关于 (H(\omega_2)) 的命题，但在 (\Phi(\omega_2)) 中有与之在 ZFC 中等价的命题。因此，研究 (\Phi(\omega_2)) 中命题的不变性，或许能为我们判断是否应接受或拒绝连续统假设提供线索。公理 ((\star)) 蕴含连续统假设的否定，实际上它表明 (2^{\aleph_0} = \aleph_2)。然而，这并不能有力地证明连续统假设不成立，因为可能存在其他公理，使得 (\Phi(\omega_2)) 中的命题在力迫法下保持不变，同时蕴含连续统假设。

Woodin 提出了一个复杂的理论，试图证明这种情况不会发生。他证明了：假设强 (\Omega) - 猜想成立，并且存在一个真类的 Woodin 基数，如果 (ZFC + \alpha) 是 ZFC 的一个扩张，其中 (\Phi(\omega_2)) 中的命题在力迫法下保持不变，且与大基数公理相容，那么 (ZFC + \alpha) 会反驳连续统假设。但遗憾的是，(\Omega) - 猜想的证明尚未完成。而且，即便证明了 (\Omega) - 猜想，上述定理也不能作为连续统假设不成立的有力证据，因为还有其他结果指向连续统假设为真。例如，Woodin 早期的一个结果表明，如果要使另一组命题（(\Sigma_2^1) 命题）在力迫法下保持不变，就必须让连续统假设