72、数学中的一致性、存在性与哲学观点

数学中的一致性、存在性与哲学观点

1. 系统中的可计算函数与一致性证明

在某些系统中，我们可以聚焦于那些在系统内可被证明为全函数的可计算函数。这些函数可被视为真正的语义，而系统中的其他对象则只是理想对象。这大致是希尔伯特对数学概念的解释方式。

对于弱系统，通过证明归一化程序的收敛性来证明其一致性相对容易；但对于强系统，面临的问题与证明经典系统的一致性类似。需要注意的是，一致性由 $\Pi_1$ 句子表达，而归一化程序的收敛性是 $\Pi_2$ 句子。这并不奇怪，因为我们知道，找到 $\Sigma_1$ 反射原理的组合解释比找到一致性的解释更容易。

在使用序数分析来证明理论 $T$ 的一致性时，对于相关证明论序数 $\alpha$ 的特定定义，我们需要证明每个产生低于 $\alpha$ 的序数递减序列的算法都会在有限步骤后终止。所以，序数分析是一种类似于证明归一化程序终止的“策略”。

此外，虽然有些概念在类型化 $\lambda$ 演算中有简单的定义，但对于大多数数学概念是否如此并不确定。类型化 $\lambda$ 演算中复杂的定义可能常常会掩盖许多数学问题的本质。因此，这些系统是一个非常有趣且有用的研究领域，但它们并非能解决数学基础的根本问题。

2. 形式主义与希尔伯特的数学哲学

在数学哲学中，精确界定各个学派并非易事。哲学家们在对数学家观点的分类上常常存在分歧。形式主义强调数学形式化的重要性，认为每个数学领域都能够且应该被形式化，因为这是实现数学绝对精确性的唯一途径。然而，如今几乎所有数学家都至少在一定程度上接受了这一观点，即应明确陈述所研究领域使用的公理。所以，对数学形式化持积极态度并不足以将某人归类为形式主义者