42、集合论中的独立性证明与力迫法

最新推荐文章于 2025-10-25 12:39:57 发布

vim8coder

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分类专栏：逻辑与计算的深层对话文章标签：力迫法集合论独立性证明

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集合论中的独立性证明与力迫法

1. 不可数性证明与连续统假设模型

在集合论的证明中，我们可以依据公式的复杂度构建层次结构，公式越简单，在层次结构中的位置越高，并且存在量词优先于全称量词。例如，对于“存在 (m > n) 使得 (m) 属于 (G)”和“对于所有 (m > n)，(m) 不属于 (G)”这两个公式，前者会被优先考虑。因此，证明 (G) 是无限集的过程是正确的，而证明其相反情况则是错误的。

现在我们尝试构建一个连续统假设不成立的模型，即 (2^{\aleph_0} = \aleph_2)。为此，我们需要扩展模型 (M)，使其包含 (\aleph_M^2) 个自然数的子集。基本思路是一次性添加一个由 (\aleph_M^2) 个泛型集合组成的序列 ({G_{\alpha}} {\alpha < \aleph_M^2})。这里不仅要求每个 (G {\alpha}) 是泛型的，还要求整个序列作为一个整体也是泛型的。我们可以通过一个泛型函数 (g(x, y)) 来精确描述，其中 (x) 是自然数，(y) 是 (M) 中小于 (\aleph_M^2) 的序数，函数值为 (0) 或 (1)，(g(n, \alpha)) 表示 (n) 是否属于 (G_{\alpha})。

让整个序列成为泛型有两个原因：一是确保 (M[{G_{\alpha}} {\alpha < \aleph_M^2}]) 是策梅洛 - 弗兰克尔公理（Zermelo - Fraenkel axioms）的模型；二是可以证明序列中的集合两两不同。利用泛型集规则很容易证明这一点，假设 (\alpha < \beta < \aleph_M^2)，当 (g