31、集合理论的另类基础探索

集合理论的另类基础探索

1. 无限基数与公理的重要性

在集合理论的研究中，存在一个重要公理，其核心要求是基本算术法则对于任意大的数字都应成立。该公理带来了一个关键结论：至少存在两种无限基数，分别是 FN 的基数和 N 的基数，它们对应着可数基数 ℵ₀ 和连续统的基数 2^ℵ₀。值得注意的是，这两种无限基数的存在性证明方式与康托尔集合论有着本质区别。

2. 不同集合理论基础的介绍

• 范畴基础 ：此方法运用范畴理论替代集合理论，核心概念是拓扑斯。将拓扑斯作为数学基础的想法源于 F.W. Lawvere。拓扑斯是一类具有高度通用性的范畴，众多概念都能在其中形式化。例如，在满足某些额外公理的拓扑斯（良点拓扑斯）中，可以解释策梅洛集合理论，还能重现选择公理和连续统假设独立性的证明。未来，寻找超越集合理论所提出公理的自然范畴公理将是更具意义的研究方向。
• 新基础公理 ：该理论的语言仅以 ∈ 作为非逻辑符号，其公理如下：
  • 外延性公理 ：$x = y \equiv \forall z(z \in x \equiv z \in y)$。
  • 分层概括公理模式 ：$\exists x\forall y (y \in x \equiv \phi(y))$，其中 $\phi$ 是分层的且 $x$ 不在其中出现。若一个公式能够为其变量分配整数索引（同一变量的所有出现具有相同索引），使得对于每个形如 $x = y$ 的子公式，变量 $x$ 和 $y$ 具有相同索引，