22、集合论公理体系深度解析

集合论公理体系深度解析

1. 策梅洛 - 弗兰克尔集合宇宙

在集合论中，我们可以将累积层次结构扩展到 $V_{\omega}, V_{\omega + 1}, V_{\omega + 2}, \cdots$ 之后，定义下一个层次为 $V_{\omega + \omega} = \bigcup_{n} V_{\omega + n}$。有了 $V_{\omega + \omega}$ 后，通过幂集公理可以得到 $V_{\omega + \omega + 1}, V_{\omega + \omega + 2}, \cdots$。然而，策梅洛集合论的公理无法推出 $V_{\omega + \omega}$ 是一个集合，这里需要任意数量集合的并集操作。

具体来说，这个并集操作可以分解为两个步骤：
1. 构造要合并的集合组成的集合 $X$，例如 $X = {V_{\omega}, V_{\omega + 1}, V_{\omega + 2}, \cdots}$。
2. 对集合 $X$ 取并集，即 $\bigcup X = \bigcup_{n} V_{\omega + n}$。

为了保证这两个步骤的合理性，需要两条公理：
- 替换公理模式 ：用于保证集合 $X$ 的存在性。因为赋值 $n \mapsto V_{\omega + n}$ 是可定义的，且每个 $n$ 都在集合 $V_{\omega}$ 中，所以可以推出 $X$ 是一个集合。
- 并集公理 ：保证并集的存在性。

有了这些工具和 $V_{\omega + \omega}, V_{\omega + \