21、集合论公理体系全解析

集合论公理体系全解析

集合论作为数学的基础分支，其公理体系的发展和完善对于数学的严谨性和逻辑性至关重要。本文将深入探讨几种重要的集合论公理体系，包括策梅洛集合论、策梅洛 - 弗兰克尔集合论以及带有类的集合论，并尝试描绘策梅洛集合论所构建的集合宇宙。

策梅洛集合论

策梅洛的目标是保留康托尔在集合论中已证明的成果，并解决集合论中的悖论问题。康托尔认为悖论是由非常大的集合引起的，因此策梅洛提出应从小集合开始，逐步构建更大的集合，避免一次性创建巨大的集合。为了实现这一目标，他对概括公理进行了限制。

• 受限概括公理模式 ：对于集合的每一个性质 φ，如果 x 是一个集合，那么存在一个集合 y，它恰好包含 x 中满足 φ 的那些元素。与无限制的概括公理不同，受限概括公理只能定义给定集合的子集，从而避免了罗素悖论。
• 集合存在公理 ：存在一个集合。有时这被视为逻辑公理，也可从无穷公理推出。策梅洛假定了空集的存在。
• 配对公理 ：对于每一对集合 x 和 y，存在一个集合 z，其元素恰好是 x 和 y，记为 {x, y}。
• 并集公理 ：对于每个集合 x，存在一个集合 y，它是 x 中元素的并集。形式上，z ∈ y 当且仅当存在 u ∈ x 使得 z ∈ u。这两个公理使我们能够构造两个集合的并集，其他布尔运算可以使用概括公理模式来定义。
• 幂集公理 ：如果 x 是一个集合，那么存在一个集合，它包含 x 的所有子集