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图算法中的循环查找与边着色优化
在图论和算法领域，有两个重要的问题备受关注：一是判断图中是否存在经过给定 $k$ 条独立边的循环，并在存在时找到该循环；二是对多重图进行最小和边着色。本文将详细介绍针对这两个问题的相关算法及其优化。
最小和边着色问题
在最小和边着色问题中，我们使用了 ACS 算法。该算法在处理图的边着色时，以轮次为单位进行操作，每一轮都会寻找一组匹配。
- k - 匹配集 ：一个 $k$ - 匹配集是将边划分为 $k$ 个匹配的集合，用 $\beta_k(G)$ 表示图 $G$ 中 $k$ - 匹配集的最大总权重。
- ACS 算法流程 ：
ACS(G,q)
α = U[0, 1); i ← ℓ0 ← 0
while (G ≠ ∅) do
ki = ⌊q^(i+α)⌋
(Mℓ+1, Mℓ+2, ... , Mℓi+ki) ← Mat(G, ki)
G ← G - ∪i Mi
i ← i + 1; ℓi ← ℓi−1 + ki−1
end
当为该算法提供一个精确的 $Mat(G,k)$ 算法来寻找 $k$ - 匹配集时，它能达到 1.796 的性能比，这也使得在二分图中实现了 BPSMS 问题的 1.796 - 近似解。
然而，在一般线图中，找到最优的匹配集是不可能的。因此，我们寻求一种对偶近似，即找到一个权重至少为 $\beta_{k_i}$ 的 $b_i$ - 匹配集，
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