相量与向量 | 定义、特性及应用-CSDN博客

本文链接：https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/148351386

注：本文为 “相量与向量” 相关合辑。
英文引文，机翻未校。
中文引文，未整理去重。

图片清晰度受引文原图所限。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

What is the difference between Phasor and Vector? - Answers

Anonymous 13y ago
Updated: 10/31/2022

1. Definition and Representation

定义与表示

“Phasors are actually vectors but they represent something specific.”
相量实际上是向量，但它们表示的是某种特定的东西。
Phasors can be used for exactly what vectors are used for, but the term ‘phasor’ carries specific implications.
相量可以用于向量所用的任何场合，但“相量”一词具有特定的含义。

2. Characteristics of Vectors

向量的特性

“Vectors can be used in many situations to represent anything that has magnitude and direction, and in any number of dimensions.”
向量可以在许多情况下用于表示具有大小和方向的任何事物，且不限于任何维度。
Vectors are not limited to a specific application and can represent a wide range of physical quantities.
向量不限于特定应用，可以表示广泛的物理量。

3. Characteristics of Phasors

相量的特性

“A phase-vector specifically represents a sinusoid by implying in it, a frequency of rotation about the origin point.”
相量具体地表示一个正弦波，暗示了围绕原点的旋转频率。
Phasors are linked to sinusoidal functions and inherently contain information about frequency.
相量与正弦函数相关联，并且固有地包含有关频率的信息。

4. Angle Measurement

角度测量

“Phase angles are measured in an anti-clockwise direction from that line.”
相位角是从该线逆时针方向测量的。
This measurement method is crucial for relating phasors in a diagram.
这种测量方法对于在图中关联相量至关重要。

5. Forms of Phasors

相量的形式

“Every location in the Argand plane can represent a phasor typically in one of the following forms: $R + j X$ .”
阿尔冈平面上的每个位置都可以用以下形式之一表示相量： $R + j X$ 。
Phasors can be expressed in various mathematical forms, highlighting their complex number representation.
相量可以用多种数学形式表示，突出了它们的复数表示。

6. Advantages of Phasors

相量的优势

“The advantage of encoding so much information into the phasor is that it makes possibly difficult calculations into simple vector additions.”
将如此多的信息编码到相量中的优势在于，它将可能复杂的计算简化为简单的向量加法。
Phasors simplify calculations in engineering contexts.
相量简化了工程背景中的计算。

7. Application in Electronics

在电子学中的应用

“Phasors are often used in electronic engineering so the symbol $j$ is used to represent $\sqrt{-1}$ .”
相量常用于电子工程中，因此使用符号 $j$ 来表示 $\sqrt{-1}$ 。
This notation is specific to engineering applications, contrasting with pure mathematics.
这种表示法特定于工程应用，与纯数学形成对比。

8. Dynamic Behavior

动态行为

“In this case, the dynamic vector sum of the phasors will describe something known as the ‘capture effect’ in FM radio.”
在这种情况下，相量的动态向量和将描述一种被称为调频（FM）收音机中的“捕获效应”的现象。
This illustrates how phasors can be used to model dynamic systems in engineering.
这说明了相量如何用于在工程中模拟动态系统。

9. Summary of Differences

差异总结

“A phasor is a rotating vector.”
相量是一个旋转的向量。
While vectors represent direction and magnitude, phasors incorporate phase information, essential for AC quantities in electrical engineering.
虽然向量表示方向和大小，但相量包含相位信息，这对于电气工程中的交流量至关重要。

Differences between a Phasor and a Vector

June 5, 2016
by admin

1. Scalar vs Vector Quantities

标量与矢量

“If someone ask you whether current and voltage are vector or scalar quantity the obviously you will answer that they are scalar quantity.”
如果有人问你电流和电压是矢量还是标量，你会回答它们是标量。
Current and voltage are classified as scalar quantities despite being represented as vectors (phasors).
尽管电流和电压被表示为矢量（相量），但它们被归类为标量。

2. Characteristics of Vectors

向量的特性

“Vectors are physical quantity which have magnitude, direction and above all which follows the triangle law of addition of two vectors.”
向量是一种具有大小、方向，并且遵循两个向量相加的三角形法则的物理量。
Vectors possess magnitude and direction, adhering to specific mathematical laws of addition.
向量具有大小和方向，并且遵循特定的向量加法规则。

3. Current and Voltage Representation

电流和电压的表示

“As current have both magnitude and direction but they do not follow the triangle law of addition of two vectors, hence current is a scalar.”
由于电流既有大小又有方向，但它们不遵循两个向量相加的三角形法则，因此电流是标量。
The behavior of current and voltage disqualifies them from being considered true vectors.
电流和电压的行为使它们不能被视为真正的向量。

4. Visual Representation of Vectors

向量的视觉表示

“While representing a vector, it is represented by an arrow pointing toward a particular direction.”
在表示向量时，用指向特定方向的箭头来表示。
The arrow’s length indicates the vector’s magnitude, illustrating its directional properties.
箭头的长度表示向量的大小，展示了其方向特性。

5. Introduction to Phasors

相量简介

“Electrical quantities such as voltage and current are scalar quantities.”
电流和电压是标量。
Despite being scalars, their sinusoidal variation over time justifies their representation as phasors.
尽管它们是标量，但它们随时间的正弦变化使其可以用相量来表示。

6. Mathematical Representation of Voltage

电压的数学表示

" $V_m \sin(\omega t)$ ."

在这里插入图片描述

This equation describes how voltage varies over time in a sinusoidal manner.
这个方程描述了电压随时间以正弦方式变化。

7. Characteristics of Phasors

相量的特性

“This vector is drawn from the origin making an angle of $\omega t$ with the time axis and rotating in anti - clockwise direction.”
这个向量从原点画出，与时间轴成 $\omega t$ 角，并且按逆时针方向旋转。
Phasors represent sinusoidal quantities and involve rotation, distinguishing them from standard vectors.
相量表示正弦量，并涉及旋转，这使它们区别于标准向量。

8. Projection and Instantaneous Value

投影和瞬时值

“If we take the projection of the vector on Voltage axis, we observe that we get the instantaneous value of the Voltage $V_m \sin(\omega t)$ .”
如果我们把向量投影到电压轴上，我们会发现得到的是电压的瞬时值 $V_m \sin(\omega t)$ 。
Projections of phasors yield instantaneous values of electrical quantities.
相量的投影产生电气量的瞬时值。

9. R.M.S Values

有效值

“It is normal practice to take the length of Phasor as the R.M.S value of the Voltage / Current.”
通常的做法是把相量的长度取为电压/电流的有效值。
The length of a phasor is associated with the root mean square (R.M.S) values, unlike vectors.
相量的长度与有效值（R.M.S）有关，与向量不同。

10. Representation of Sinusoids

正弦波的表示

“Thus Phasors are generally rotational representation of sinusoidally varying quantities.”
因此，相量通常是正弦变化量的旋转表示。
Phasors effectively represent phase differences in sinusoidal functions, allowing for simultaneous visualization of multiple quantities.
相量有效地表示正弦函数中的相位差，允许同时可视化多个量。

What is the difference between vectors and phasors?

crossman
Start date Jan 31, 2005

1. General Definitions

一般定义

“Phasors seem to be a subset of vectors.”
相量似乎是向量的一个子集。
There is confusion regarding the relationship between vectors and phasors in AC circuits.
关于交流电路中向量和相量之间的关系存在一些混淆。

2. Phasor Characteristics

相量的特性

“Phasors are complex numbers.”
相量是复数。
Phasors can be defined in terms of magnitude and angle on the complex plane.
相量可以用复平面上的大小和角度来定义。

3. Vector Characteristics

向量的特性

“Vectors have both magnitude and direction.”
向量既有大小又有方向。
Vectors are defined with both directional and magnitude properties, applicable in various disciplines.
向量被定义为具有方向性和大小属性，在多个学科中都有应用。

4. Multiplication Differences

乘法差异

“When you multiply two complex numbers (phasors, for example) you get a product with a magnitude equal to the product of the magnitudes.”
当你将两个复数（例如相量）相乘时，你会得到一个大小等于两个复数大小乘积的乘积。
The multiplication behavior of phasors differs from that of vectors, particularly in how angles are combined.
相量的乘法行为与向量不同，尤其是在角度的组合方式上。

5. Types of Vector Multiplication

向量乘法的类型

“If you choose (or require) the dot product, you get a product with magnitude equal to the projection of the multiplicand onto the multiplier.”
如果你选择（或需要）点积，你会得到一个大小等于被乘数在乘数上的投影的乘积。
Vectors allow for scalar (dot product) and vector (cross product) multiplications, each yielding different results.
向量允许进行标量（点积）和向量（叉积）乘法，每种乘法都会产生不同的结果。

6. Properties of Phasors vs Vectors

相量与向量的特性

“Phasors are not a subset of vectors!”
相量不是向量的子集！
Phasors have unique properties (like differentiation and integration) that vectors do not possess, indicating distinct mathematical characteristics.
相量具有向量所不具备的独特属性（如微分和积分），表明它们具有不同的数学特征。

7. Correctness of Terminology

术语的准确性

“Of course phasors is more correct because of its properties.”
Of course phasors is more correct because of its properties(specially integration and differentiation properties which is missing in vectors )
当然，相量更准确，因为它具有特定的属性。
The use of phasors is more accurate in contexts involving AC circuits due to their specific properties.
在涉及交流电路的上下文中，使用相量更为准确，因为它们具有特定的属性。

voltage - What is the difference between vectors and phasors?

asked Jan 27, 2021 at 14:40
AndroidV11

1. Understanding the Difference

理解差异

The distinction between vectors and phasors is essential for understanding their applications.
理解向量和相量之间的区别对于理解它们的应用至关重要。

2. Definition of Phasor

相量的定义

“According to IEEE Dictionary a phasor is: A complex number expressing the magnitude and phase of a time - varying quantity.”
根据 IEEE 词典，相量是一个复数，表示时变量的大小和相位。
Phasors mathematically represent rotating vectors in the context of steady - state alternating systems.
相量在稳态交流系统的背景下，数学上表示旋转向量。

3. Characteristics of Vectors

向量的特性

“While they are often usually used interchangeably, I always understood that a vector was a line with a magnitude and a direction.”
尽管它们经常被互换使用，但我一直认为向量是一条具有大小和方向的直线。
Vectors have defined magnitude and direction, unlike phasors, which are understood in a rotating context.
向量具有明确的大小和方向，与在旋转背景下理解的相量不同。

4. Directionality of Phasors

相量的方向性

“Most phasors are considered to be rotating with time.”
大多数相量被认为随时间旋转。
Phasors do not have a static direction but are understood as changing over time.
相量没有固定的方向，而是被理解为随时间变化。

5. Visual Representation

视觉表示

“Think of a vector as being an arrow. It has a beginning point, and heads out in some direction.”
把向量想象成一支箭。它有一个起点，并朝着某个方向延伸。
Vectors are represented as arrows, while phasors can be visualized as rotating arrows indicating time - varying quantities.
向量被表示为箭头，而相量可以被想象为表示时变量的旋转箭头。

6. Mathematical Representation

数学表示

“The length of the blue line represents the magnitude of an AC voltage (or current).”
蓝色线的长度表示交流电压（或电流）的大小。
Phasors represent magnitudes that can be projected onto real axes for analysis.
相量表示的大小可以投影到实轴上进行分析。

7. Use in Engineering

在工程中的应用

“This tool allows us to perform calculations in a far, far simpler way than would be possible using trigonometry.”
这种工具使我们能够以比使用三角学简单得多的方式进行计算。
Phasors simplify electrical calculations, particularly when dealing with phase differences.
相量简化了电气计算，特别是在处理相位差时。

8. Relation to RMS Values

与有效值的关系

“The projected voltage is the RMS or effective voltage.”
投影电压是有效值或均方根值。
Phasor projections onto axes yield effective values crucial for power calculations.
相量投影到轴上得到的有效值对于功率计算至关重要。

9. Application of Phasors

相量的应用

“Now can you come up with some examples of the application of phasors?”
现在你能想出一些相量应用的例子吗？
Practical applications of phasors include analyzing AC circuits and understanding their behavior in steady - state conditions.
相量的实际应用包括分析交流电路及其在稳态条件下的行为。

10. Summary of Concepts

概念总结

“I used to think that vectors and phasors were the same thing. Now I see the difference.”
我以前以为向量和相量是一样的东西。现在我看到了它们的区别。
The discussion highlights an evolving understanding of how phasors function in engineering compared to vectors.
讨论强调了与向量相比，相量在工程中功能的不断发展的理解。

Complex Number How To’s: Math & Converting Vectors and Phasors

December 1, 2016
By Zach Stone, P.E.

复数运算：数学与向量及相量的转换

You can expect to see them anytime complex impedances, apparent power, and phasors with a magnitude and angle appear.
在涉及复数阻抗、视在功率以及带有大小和角度的相量时，你都可以看到它们的应用。

It helps to have a comfortable understanding of what complex numbers are and how to use them.
熟悉复数是什么以及如何使用它们会很有帮助。

First, some definitions:

首先，一些定义：

(You may skip these and jump down to where the action is at if this is not new for you)
（如果你已经熟悉这些内容，可以直接跳过，进入实际操作部分）

Vector – A quantity that has two values, magnitude (size), and direction (angle).
向量 – 一个具有两个值的量，大小（magnitude）和方向（角度）。

Phasor – An electrical quantity represented as a vector, that equates to a sine wave value.
相量 – 以向量形式表示的电学量，等同于正弦波的值。

Remember that even though we are most familiar working with the RMS value of voltage like $110$ to $120$ volts in our house, and $277$ to $480$ volts in commercial buildings, alternating voltage is actually a varying sine wave.
记住，尽管我们最熟悉的是电压的有效值（RMS），比如家里的 $110$ 到 $120$ 伏，以及商业建筑中的 $277$ 到 $480$ 伏，但交流电压实际上是一个变化的正弦波。

A Phasor is a simple way of using a vector to represent a sinusoidal function using a magnitude and angle.
相量是一种简单的方法，使用向量通过大小和角度来表示正弦函数。

Polar– A way to represent a vector using a magnitude and an angle.
极坐标形式 – 一种使用大小和角度来表示向量的方法。

A polar vector takes on the form of $\|r\| \angle \theta$ , where $\|r\|$ is the magnitude and $\theta$ is the angle in degrees.
极坐标向量的形式为 $\|r\| \angle \theta$ ，其中 $\|r\|$ 是大小， $\theta$ 是角度（以度为单位）。

Magnitude – The size and length of the vector.
大小 – 向量的长度和尺寸。

If you’ve ever drawn a “power triangle” to show the apparent power in Volt Amps, or VA, then the hypotenuse of the triangle is the magnitude.
如果你曾经画过一个“功率三角形”来表示以伏安（VA）为单位的视在功率，那么三角形的斜边就是大小。

Magnitude takes on the form of absolute value and can never be negative.
大小以绝对值的形式表示，且永远不会是负数。

An example of a magnitude is: $\|r\|$
大小的一个例子是： $\|r\|$

Phase angle – The angle of a vector in respect to the right hand horizontal axis.
相位角 – 向量相对于右手水平轴的角度。

The most standard electrical Phase sequence is Positive ABC, which means that phasors rotate around the phasor diagram counter clockwise.
最标准的电学相序是正序 ABC，这意味着相量在相量图中是逆时针旋转的。

For ABC sequence any angle that is counter clock wise from the zero axis is positive, and any angle that is clock wise from the zero axis is negative.
对于 ABC 序列，任何从零轴逆时针方向的角度都是正的，而任何从零轴顺时针方向的角度都是负的。

The opposite is true for Negative ACB.
对于负序 ACB，情况则相反。

Complex Rectangular – A way to represent a vector using a real component and an imaginary component.
复数直角坐标形式 – 一种使用实部和虚部来表示向量的方法。

Back to the “power triangle” example the real component is the horizontal leg of the triangle and imaginary component is the vertical leg of the triangle.
回到“功率三角形”的例子，实部是三角形的水平边，虚部是三角形的垂直边。

A complex rectangular number takes on the form of $V = a + jb$ .
复数直角坐标形式的数的形式为 $V = a + jb$ 。

Real Component– The horizontal component of a complex number.
实部 – 复数的水平分量。

If $V = a + jb$ , the value of the real component is $a$ .
如果 $V = a + jb$ ，实部的值是 $a$ 。

The real component can also be expressed as $\text{Re}\{V\} = a$ .
实部也可以表示为 $\text{Re}\{V\} = a$ 。

Imaginary Component– The vertical component of a complex number.
虚部 – 复数的垂直分量。

If $V = a + jb$ , the value of the imaginary component is $b$ .
如果 $V = a + jb$ ，虚部的值是 $b$ 。

The imaginary component can also be expressed as $\text{Img}\{V\} = b$ .
虚部也可以表示为 $\text{Img}\{V\} = b$ 。

Ignore the lower case $j$ when a vector is represented in complex rectangular form, it is merely used to distinguish the imaginary component from the real component.
在复数直角坐标形式中表示向量时，忽略小写的 $j$ ，它只是用来区分虚部和实部的。

Conjugate – Marked by an asterisk $*$
共轭 – 用星号 $*$ 表示

When a conjugate is applied to a:
当对一个量取共轭时：

Complex number – the polarity of the imaginary component changes.
复数 – 虚部的符号改变。

Polar number – the polarity of the angle changes.
极坐标形式的数 – 角度的符号改变。

Next, Graphing and Notation:

接下来，绘图和表示方法：

Complex or rectangular number “Z hat” with a real component $R$ and imaginary component $X$ :
复数或直角坐标形式的数“Z 帽”，其实部为 $R$ ，虚部为 $X$ ：

$\hat{Z}=R+jX$

Vector or polar number “S hat” with a magnitude $\|S\|$ and angle “theta S”:
向量或极坐标形式的数“S 帽”，其大小为 $\|S\|$ ，角度为“theta S”：

$\hat{S}=\left| S \right|<{{\theta }_{s}}$

Video - Graphing Polar vs Complex
视频 - 极坐标与复数绘图

Complex Number Mathematics Rectangular Vs Polar
https://www.youtube.com/watch?v=oMzJQKfWp2k

Converting Between Polar and Complex
极坐标与复数之间的转换

Remember that a vector can be expressed in polar or complex form.
请记住，向量可以用极坐标形式或复数形式表示。

This means that we can convert back and forth between the forms.
这意味着我们可以在这两种形式之间相互转换。

If we start with a polar number:
如果我们从一个极坐标数开始：

$\hat{Y}=\left| r \right|<\theta$

we can solve for the real (a), and imaginary (b) components of the same vector expressed as a complex number by the following formulas:
我们可以通过以下公式求出同一向量表示为复数时的实部（a）和虚部（b）分量：

$\cos(\theta)$

$\sin(\theta)$

We can now re-write the same vector as a complex number:
现在，我们可以将同一向量重新表示为复数：

$\hat{Y}=a+j b$

Now, moving backwards, if we want to express the complex number as a polar number, we can solve for the magnitude |r| and angle θ with the following formulas:
现在，反过来，如果我们想将复数表示为极坐标数，可以用以下公式求出模长 $∣ r ∣$ 和角度 $θ$ ：

$|r|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

We can now re-write the complex number as a polar number:
现在，我们可以将复数重新表示为极坐标数：

$\hat{Y}=\left| r \right|<\theta$

Let’s see what it looks like done live with the following video:
让我们通过以下视频看看实际操作过程：

Video - Converting Between Polar and Complex
视频 - 极坐标与复数之间的转换

Complex Number Mathematics Rectangular Vs Polar Example 1
https://www.youtube.com/watch?v=b6TVYItkSXQ

Vector Math

向量数学

So we just learned how to convert back and forth between the two forms.
我们刚刚学习了如何在两种形式之间相互转换。

But why the heck would we ever want to do that?
但我们究竟为什么要这样做呢？

The simple answer, is to be able to carry out math properly with vectors.
简单的答案是，为了能够正确地对向量进行数学运算。

Unless you have a more sophisticated calculator, the following is always true:
除非你有更高级的计算器，否则以下情况总是成立的：

Addition & Subtraction can only be done with complex numbers.
加法和减法只能用复数进行。

Multiplication & Division can only be done with polar numbers.
乘法和除法只能用极坐标数进行。

This means if you need to add or subtract two vectors, and one is in polar form, you better make sure to convert it to a complex number first or you will get the wrong answer.
这意味着如果你需要对两个向量进行加法或减法运算，而其中一个是极坐标形式，你最好先将其转换为复数形式，否则会得到错误的答案。

This also holds true if you need to multiply or divide two vectors, and one is in rectangular form, you will need to convert it to polar form first.
如果你需要对两个向量进行乘法或除法运算，而其中一个是直角坐标形式，你需要先将其转换为极坐标形式，这一点同样适用。

So now we know how and when to convert, let’s look at how to add, subtract, multiply, and divide.
现在我们知道了如何转换以及何时需要转换，接下来让我们看看如何进行加法、减法、乘法和除法运算。

Addition

加法

Add the real components together, and the imaginary components together.
将实部分量相加，虚部分量相加。

The new complex number is the sum of the real components, and the sum of the imaginary components.
新的复数是实部分量之和与虚部分量之和组成的。

Order does not matter.
顺序无关紧要。

$\begin{align*} & X & =&{{a}_{x}}+j{{b}_{x}} \\ & Y & =&{{a}_{Y}}+j{{b}_{Y}} \\ & (X+Y) & =&\left( {{a}_{x}}+{{a}_{Y}} \right)+j\left( {{b}_{x}}+{{b}_{y}} \right) \\ & (Y+X) & =&(Y+X) \end{align*}$

Subtraction

减法

Subtract the real components, and the imaginary components.
减去实部分量和虚部分量。

The new complex number is the difference of the real components, and the difference of the imaginary components.
新的复数是实部分量之差与虚部分量之差组成的。

Order does matter.
顺序很重要。

Complex Number How To’s: Math & Converting Vectors and Phasors - Electrical PE Review
复数使用指南：数学及向量与相量的转换 - 电气专业工程师考试复习

$\begin{align*} & X & = & {{a}_{x}}+j{{b}_{x}} \\ & Y & = & {{a}_{Y}}+j{{b}_{Y}} \\ & (X-Y) & = & \left( {{a}_{x}}-{{a}_{Y}} \right)+j\left( {{b}_{x}}-{{b}_{y}} \right) \\ & (Y-X) & = & \left( {{a}_{y}}-{{a}_{x}} \right)+j\left( {{b}_{y}}-{{b}_{x}} \right) \end{align*}$

Multiplication

乘法

Multiply the magnitudes and add the angles.
将模长相乘，角度相加。

The new magnitude is the product of both magnitudes.
新的模长是两个模长的乘积。

The new angle is the sum of both angles.
新的角度是两个角度的和。

Order does not matter.
顺序无关紧要。

$\begin{align*} & X & = & {{r}_{X}}<{{\theta }_{X}} \\ & Y & = & {{r}_{Y}}<{{\theta }_{Y}} \\ & XY & = & \left( {{r}_{X}}{{r}_{Y}} \right)<\left( {{\theta }_{X}}+{{\theta }_{Y}} \right) \\ & YX & = & XY \end{align*}$

Division

除法

Divide the magnitudes and subtract the angles.
将模长相除，角度相减。

The new magnitude is the quotient of both magnitudes.
新的模长是两个模长的商。

The new angle is the difference of both angles.
新的角度是两个角度的差。

Order does matter.
顺序很重要。

$\begin{align*} & X & = & {{r}_{X}}<{{\theta }_{X}} \\ & Y & = & {{r}_{Y}}<{{\theta }_{Y}} \\ & \frac{X}{Y} & = & \frac{{{r}_{X}}}{{{r}_{Y}}}<\left( {{\theta }_{X}}-{{\theta }_{Y}} \right) \\ & \frac{Y}{X} & = & \frac{{{r}_{Y}}}{{{r}_{X}}}<\left( {{\theta }_{Y}}-{{\theta }_{X}} \right) \end{align*}$

Now let’s see what vector math actually looks like live with a couple of examples by hand:
现在，让我们通过几个手工计算的例子来看看向量数学的实际操作：

Video - Vector Addition, Subtraction, Multiplication, & Division Examples
视频 - 向量加法、减法、乘法和除法示例

Complex Numbers Example - Addition, Subtraction, Multiplication, Division
https://www.youtube.com/watch?v=Ps4RvWVRsqU

That’s it!
就是这样！

Easy as pie, right?
易如反掌，对吧？

矢量、向量、相量，有什么区别？

知乎用户
87 人赞

向量 = 矢量 (Vector) ：同时具有大小和方向的量，与向量相对的是只有大小没有方向的标量。

相量 (Phasor, Phase vector) ：表示正弦量的复数，其幅角等于初相，其模等于方均根值或振幅。

参考

向量（英语：vector，也称作矢量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向（比如：东、南、西、北）的几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其他量而得名。直观上，向量通常被标示为一个带箭头的线段。线段的长度可以表示向量的大小，而向量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。与向量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。
- 向量 - 维基百科，自由的百科全书
  https://zh.wikipedia.org/wiki/向量
相量（英语：Phasor）是振幅（A）、相位（θ）和频率（ω）均为时不变的正弦波的一个复数，是更一般的概念解析表示法的一个特例。Phasor 是 Phase Vector 的混成词。Phasor 也被称作复振幅，在比较古老的英文工程文献当中，也常被写作 sinor，甚至写作 complexor 。
- 相量 - 维基百科，自由的百科全书
  https://zh.wikipedia.org/wiki/相量
GB/T2900.01-2008《电工术语基本术语》相量 Phasor：表示正弦量的复数，其幅角等于初相，其模等于方均根值或振幅。

电路中的相量（Phasor）是向量（Vector）吗？

Jerry

13 人赞同了该回答

交流稳态电路分析中的相量的复包络（载波频率为工频）。

特别的，理想余弦信号的复包络为复常数。

“日马非马”，首先需要定义中文里“是”这个字的含义。

这么多个回答，公说公有理，婆说婆有理，谁也不服谁。“是骤子是马，拉出来溜溜。”要比较，就得有统一的标准，就得首先明确，如何理解题目中，“是”这个字的含义：

包含于或即隶属的意义 ——“是”用来指一语词所指的事物包含在一类事物中，例如“月亮是卫星”“面包是食物”等。
等同的意义 ——表示两语词所指的事物等同，例如“伦敦是英国的首都”“三角形是有三条边的平面图形”等。

听老师说过：

数学是一门给相同事物取不同名字、给不同事物取相同名字的学问。

事物具有共性，可以抽象地看待为同一事物。

以下论述中，我所回答的问题是，“等同”范畴下，电路中的相量（Phasor）是向量（Vector）吗？因为在在我看来，这个问题可以表述为，电路中的相量本质是什么，如何理解它的原理。

相量不等同于向量，因为复数不等同于实数域上的二维向量

欧姆定律 $V / I = Z$ ，可二维向量没有除法定义，非常尴尬。用读书人的话说，复数是数域：欧式空间是给定了数域，定义了数乘、内积运算的阿贝尔群。

geometry - What is the difference between complex numbers and 2D vectors?
https://math.stackexchange.com/questions/3427915/what-is-the-difference-between-complex-numbers-and-2d-vectors

如何理解相量法？

对于线性时不变电路，可采用传递函数分析系统响应。

若电路存在换路，电路结构发生改变，从总体上看系统是时变的，但是可以分段看作线性时不变电路：在各个阶段，电路储能元件具有初值。

换路时，电路储能元件的初始值可视为额外的激励。举个栗子，初值为 5V 的电容，可对外等效为零初值的电容 + 串联一个 5V 的电压源。同理，初值为 1A 的电感，可对外等效为零初值的电感，并联 1A 的电流源。
电路的频率响应具有共轭对称性。

激励是实函数 $c (t)$ ，则响应是实函数 $y (t)$ ；激励是虚函数 $j H (c) (t)$ ，则响应是虚函数 $j H (y) (t)$ 。

激励为复函数 $e (t)$ ，由于系统频率响应共轭对称，激励 $e (t)$ 的实部 $c (t)$ 对应于响应 $r (t)$ 的实部 $y (t)$ ；激励 $e (t)$ 的虚部 $j H (c) (t)$ 对应于响应 $r (t)$ 的虚部 $j H (y) (t)$ 。

因此，与其将余弦信号 $A\cos(\omega_ct + \theta)$ 作用于系统，观察其响应 $y (t)$ ；我们还可以在复数域进行分析，用复信号 $Ae^{j(\omega t + \theta)}$ 作用于原系统，观察系统复响应的实部 $\text{Re}\{r(t)\} = y(t)$ 。

系统仅满足线性时不变是不够的，若频率响应不共轭对称，则会出现激励虚部 $H (c) (t)$ 的响应泄漏到响应实部的情况。

那么，相量法最后一步，将响应的相量变换到时域后，会存在误差。
相量为信号 $x(t)=A\cos(\omega_c t+\theta)$ 的复包络 $e_\downarrow(t)=Ae^{j\theta}$

相量法的求解过程，可用如下框图帮助理解。（推荐搭配通信系统原理 - 带通系统的等效基带分析使用）

如图所示，在将单边信号 $Ae^{j(\omega t + \theta)}$ 频谱向下搬移工频 $\omega_c$ 后，就得到了相量 $Ae^{j\theta}$ 。注意到，在频谱搬移后，输入信号变为一个常数，与时间 $t$ 无关。

求解原系统 $H (s)$ 在 $f_c = 50\text{Hz}$ 激励 $A\cos(\omega_ct + \theta)$ 作用下的稳态响应，等价于求解等效基带系统 $j\omega_c)$ 在 0Hz 激励 $e_\downarrow(t)=Ae^{j\theta}$ 作用下响应 $r (t)$ 的实部：

$y(t)=\Re\{r(t)\}=\Re\{r_\downarrow(t)e^{j\omega_c t}\}=\Re\{Be^{j\phi}e^{j\omega_c t}\}=B\cos(\omega_c t+\phi)$

等效基带系统 $j\omega_c)$ 中，电感在 0Hz 时的稳态模型为一个阻值为复数 $j\omega_c L$ 的电阻，电容的稳态模型为一个阻值为复数 $\frac{1}{j\omega_c C}$ 的电阻，因此我们无需求解动态电路的微分方程：只需求解电阻电路的基尔霍夫方程，得到 $r_\downarrow(t)=Be^{j\phi}$ 。
上述分析中采用的是拉普拉斯变换，因此可以推广至暂态过程的求解，而不是局限于稳态响应的求解。

电感电容在等效基带系统中的暂态模型，见参考文献。

Marti, J. R., Dommel, H. W., Bonatto, B. D., & Barrete, A. F. (2014, August). Shifted Frequency Analysis (SFA) concepts for EMTP modelling and simulation of Power System Dynamics. In 2014 Power Systems Computation Conference (pp. 1-8). IEEE

小结

相量是复数，不等同于向量。
电路线性时不变，且系统频率响应共轭对称，故可用相量法求解。

编辑于 2020-07-05 05:22

电路中的相量 (Phasor) 是向量 (Vector) 吗？

李诗旸

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众所周知，相量的运算符合平行四边形法则。如果把相量看作向量，相量 $\mathbf{U}$ 、 $\mathbf{I}$ 的点乘是有功功率，叉乘是无功功率，是个标量。但是向量叉乘结果仍然是向量，这似乎存在矛盾。

相量的本质

相量在数学本质上是复数 (Complex Number)，这是非常清楚且毫无歧义的。相量满足数学上对复数的严格定义，除了复数的性质外，相量在数学上不具有任何其他性质。相量的特殊性在于其应用背景，从数学角度看，它就是复数。

那么，相量是不是向量呢？当然是。数学上的任何域都是其自身上的向量空间（线性空间）。具体来说：

复数域是复数域上的一维向量空间。
复数域也是实数域上的二维向量空间。
复数域还是有理数域上的无穷维向量空间。

因此，复数是向量，相量当然是向量。

进一步讲，相量作为复数，不仅可以是实数域上的二维向量，而且可以通过简单的规定，成为二维欧几里得空间的向量，也就是大部分人提到向量时想到的那种、我们经常画在纸上的东西。

但是，“是”并不等同于“等价”。相量作为复数，不只是向量，它还可以做乘除法，而一般的向量之间不存在乘除法。这里所说的“乘法”是域的运算，满足相应公理，与向量的“点乘”“叉乘”完全不同。而且，“点乘”“叉乘”需要特殊的空间结构，一般的向量空间里是不存在的。

相量的功能

最底层的功能

从历史上（更可能是逻辑上）来看，相量的最底层意义是在分析交流电路 (AC Circuit) 时，对正弦量（时域正、余弦函数）的一种符号表达（一些老书上认为这种符号就是正弦量的符号表示）。这种符号抓取了正弦量的幅值（有效值）和相位两个要素，略去了所有量共同的、不言自明的频率。这层含义还不涉及这种符号整体之间的运算，而可以视为一种对正弦量的简写。在这层意义上，相量不必是复数，也可以不是向量，一个二元组就足够了。它可以实现比较正弦量幅值大小、获取相位差等功能。

简化正弦量的合成运算

相量很可能从诞生之初，就不只拥有上述最底层功能，而已经具备了第二层功能：简化正弦量的合成（加减）运算。具体来说，正弦量之间的加减运算，可以通过各自相量之间的二元运算实现：

$a\pm b =\mathscr{P}^{-1}\left(\mathscr{P}(a)\boldsymbol{\pm} \mathscr{P}(b)\right)，\quad \mathscr{P}表示从正弦量到对应\text{phasor}的双射，a,b是两个正弦量$

而且，上式右边的计算比左边简单。二维欧几里得空间中的向量，恰好提供了这样的功能：令幅值或有效值对应长度，相位对应方向，相量就对应二维实向量。相量之间按二维向量加减法则运算的结果，正好对应了相应正弦量的加减结果。更为关键的是，正弦函数的加减合并，需要和差化积公式等复杂的操作，而向量加减，几何上是画三角形，算术上是坐标各自加减，至少对人而言简单得多。

简化微分方程相关运算

由于复数也是二维实向量，上述功能用复数自然也能实现。如果只有上述两层功能，那么相量很可能就只是一个二维实向量，而不一定是复数。然而，事实上早在 1893 年，数学家、工程师 Charles Proteus Steinmetz 的文章 “Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering” 已经引入了复数版本的相量。

这就关系到相量的第三层功能：简化正弦量的微分方程相关运算。复数版的相量，也就是我们现在普遍使用的版本，可以将微分和积分运算简化为乘除运算，将微分方程简化为代数方程。具体来说：

$\mathscr{P}\left(\frac{\mathrm{d}\cos\left(\omega_0 t+\phi\right)}{\mathrm{d}t}\right)=\omega_0\mathrm{j}\mathscr{P}\left(\cos\left(\omega_0 t+\phi\right)\right)$

这可以通过复数相量表示为：

$\omega \mathbf{A}$

其中 $j$ 是虚数单位。

这可由正余弦函数的微分计算直接导出，另外从更一般的视角，也可借助傅里叶变换导出。实际上可以将复数版本的相量定义为：

$\mathscr{P}\left(\cos\left(\omega_0 t+\phi\right)\right)=k\mathscr{L}\left(\cos\left(\omega_0 t+\phi\right)\right)(\omega_0)，\quad\mathscr{L}表示周期函数傅立叶变换$

上式中 $k$ 是一个非零常数，和傅里叶变换具体定义有关，不影响讨论。而将微分运算变为乘法运算，正是傅里叶变换的核心性质。

正是上述相量的第三层功能，使得今天广泛使用的阻抗、导纳等概念和方法成为可能。否则正弦稳态线性电路运算都得解微分方程（相当于解潮流都得用 PSCAD），这将极大地增加计算复杂度。

支持复功率的概念和简化计算

最后，今天的相量还有第四层功能：对正弦稳态线性电路（如电网的主要部分），支持复功率的概念和简化计算。这是纯粹电气工程领域的发明创造。使用向量作为相量也可以实现这一功能，也就是在一些地方看到的，用点乘计算有功功率，用叉乘的模长计算无功功率。但从计算机运算的角度讲，这远不如复数乘法方便（这也是引入复功率的一个原因）。

这里要再次强调一下，今天通用的相量是复数，复数虽然也是实数域上的二维向量，但点乘和叉乘对向量空间的结构还有额外的要求，并非一般的二维向量就可以做点乘、叉乘。因此，不加特别规定，直接在相量间做点乘、叉乘，是错误的操作。非要构造出一种既有复数性质，又可以做“数乘”“叉乘”来得出有、无功功率的东西，当然是可以，但恐怕毫无必要。其实参照一般的希尔伯特空间里函数的内积定义，有功功率确实可以用正弦量的内积来表示，但这和相量的点乘不是一回事。

总结

综上所述，相量的四层功能可以由复数的性质提供。确实也可以构造一个二维实向量空间来实现这些功能，但在某些方面会比较复杂（主要是第三、四层功能）。可能是上述原因，导致最终复数版本的相量得到了广泛应用；而不太严格使用概念的人，则容易把它和欧几里得空间二维向量混为一谈。

最后，我看到有答案提到派克变换、旋转坐标系之类，我想提醒一下，首先相量就是对很基础的时域正弦函数的处理方法，跟多相系统、空间旋转无需发生关系。相量引入的时候，Robert H. Park 还没有出生。

关于相量法的起源，推荐阅读张亮亮、雷银照的文章：

相量法历史上的三篇经典文献
https://dgjsxb.ces-transaction.com/CN/abstract/abstract21.shtml

里面就包括上面提到的，Charles Proteus Steinmetz 引入复数相量的文献 “Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering”。

关于相量的进一步讨论

1. 复包络与希尔伯特变换

在实际应用中，相量测量面临诸多问题。真实世界中不存在纯粹的正弦量，如何实时获取电压相量和频率呢？了解希尔伯特变换和复包络的概念是十分有益的。有兴趣的读者还可以参考吃货家丰的答案，其中提到的复包络概念值得了解，尽管其内容略有偏离主题。

2. 复数与向量的联系

对于 $\mathbf{a} = (x_a, y_a) \in \mathbb{E}^2$ 和 $\mathbf{b} = (x_b, y_b) \in \mathbb{E}^2$ ，以及复数 $x_a + j y_a \in \mathbb{C}$ 和 $x_b + j y_b \in \mathbb{C}$ ，有：

$ab^* = a \cdot b + j |a \times b|$

或者反过来：

$\cdot b = \operatorname{Re} \{ab^*\} = \frac{1}{2} (ab^* + a^*b)$

$\times b = \operatorname{Im} \{ab^*\} = \frac{1}{2j} (ab^* - a^*b)$

利用这个关系，可以将复数乘法与对应的二维实向量的点乘、叉乘联系起来。实际上，在应用中，复数运算更多地被当作向量运算的简化。相关内容可参见 Tristan Needham著作《Visual Complex Analysis》，有齐民友老师的中译本《复分析：可视化方法》，节选相关部分如下：

在这里插入图片描述

3. 复功率与相量运算

我们已经建立了复数的相量概念，以及由电压、电流相量复数乘法表示的复功率概念。从计算角度来看，反其道而行之，用对应的相量运算来表示有功、无功，然后再组成复功率，无疑是舍近求远。

从线性电路中，有功、无功的概念本身来讲，它们是直接定义在正弦量电压、电流的瞬时功率上的，并且可以通过相量复数运算导出。或许有些人会觉得，分别用二维向量的点乘、叉乘来表示有功、无功，似乎有一种神秘的和谐美感。然而，总体上这是得不偿失的，将其作为一种理解或计算方式即可。至少目前还没有见到它揭示了某种物理上更本质的东西，因此没有必要去动摇复数相量的概念。

编辑于 2020-06-30 14:04_

相量与矢量的对比及应用区别

1. 相量与矢量的本质区别

相量（Phasor）：本质是复数，用于表示正弦量的振幅和相位（如交流电路中的电压/电流）。通过欧拉公式 $V_m e^{j\phi}$ ，将时域正弦量转换为复频域表示，简化正弦稳态电路分析。相量运算遵循复数运算法则（加法、乘法），不涉及矢量叉乘。
矢量（Vector）：具有大小和方向的量，遵循平行四边形合成法则，运算包括点积、叉积等。矢量的方向是空间中的几何方向，其叉乘可产生垂直于原平面的新矢量。
区别总结：相量在复平面上运算，其“方向”是复平面上的相位角；矢量在实空间中运算，其方向是空间中的几何方向。

2. 变换关系

派克变换（Park Transformation）：主要用于三相交流电机分析，将三相变量转换为两相旋转坐标系（d-q轴），属于时域到旋转时域的变换。
相量分析：基于欧拉公式 $e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t$ ，将时域正弦量转换为复频域表示，用于简化正弦稳态分析。
区别总结：派克变换用于三相系统的坐标变换，而相量分析基于欧拉公式的频域变换。评论混淆了派克变换与欧拉公式的应用场景。