自动控制原理知识点精要梳理 | Ref 3

斐夷所非

已于 2025-04-06 08:51:21 修改

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分类专栏： control theory 文章标签：自动控制原理

于 2025-04-04 00:41:36 首次发布

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【经典控制理论】自动控制原理知识点概要（上）

CHH3213 已于 2023-11-27 22:34:01 修改

参考资料

胡寿松《自动控制原理》第 6 版
刘豹《现代控制理论》第 3 版
斐润《自动控制原理》（注：此处应为原文笔误，裴润）
哈工大控制学科 803 考研资料

前言

对于控制工程专业的人员而言，经典控制理论具有重要意义。作者利用参加秋招的机会，复习了相关控制理论知识，希望也能为有需要的人提供帮助。

1. 自动控制系统的基本概念

自动控制系统的基本组成

1.1 自动控制系统的基本组成

反馈控制系统的一般组成如下图所示。

反馈控制系统组成

测量元件：用于测量被控量；
变换放大元件：由于偏差信号一般较微弱，经过变换放大后产生足够大的幅值和功率；
执行元件：将变换放大后的偏差信号驱动被控对象；
校正元件：为使系统能正常工作，在系统中设计能提高控制性能的元件。

1.2 对控制系统的基本要求

自动控制系统虽有不同类型，但对每一类系统的基本要求是一致的，可归结为：稳、快、准。

稳定性：是保证系统正常工作的先决条件；平稳性是对动态响应过程的评价，主要指标包括超调量以及振荡次数等。
快速性：也是对系统动态响应过程的评价，主要指标包括系统的过渡时间、上升时间、峰值时间等。
准确性：指在理想情况下，当过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。主要指标是稳态误差。

1.3 非线性与线性系统分析方法

非线性与线性系统分析方法

2. 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型

2.1 状态空间、微分方程、传递函数、结构图、信号流图

状态空间
状态方程和输出方程统称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示
$\dot{x} = A x + B u \\ \dot{y} = C x + D u$
传递函数模型
定义：线性定常系统在零初始条件下，将输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比定义为线性定常系统的传递函数。
$\frac{C(s)}{R(s)}$
微分方程模型，其一般形式为
$\begin{aligned} &a_0 \frac{d^n}{dt^n} c(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} c(t) + \cdots + a_{n-1} \frac{d}{dt} c(t) + a_n c(t) \\ &= b_0 \frac{d^m}{dt^m} r(t) + b_1 \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} r(t) + \cdots + b_{m-1} \frac{d}{dt} r(t) + b_m r(t) \end{aligned}$
相应的传递函数为：
$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \cdots + b_{m-1} s + b_m}{a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n}$
传递函数与微分方程之间存在一一对应的关系：传递函数分子与输入信号、传递函数分母与输出信号相对应；传递函数中 $s$ 的幂次与微分方程中导数的阶次相对应。
结构图模型，如图

结构图模型

信号流图模型，如图

信号流图模型

2.2 传递函数的性质

传递函数是复变量 $s$ 的有理真分式函数，即 $\leq n$ ，且所有系数为实数；
传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，而与系统的输入信号的形式无关，当然也与初始条件无关；
传递函数与微分方程有相通性，是一一对应的，非常容易转换；
传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应；
传递函数只是对系统的数学描述，并不反映系统的物理构成。

2.3 用解析法建立系统数学模型的一般方法

解析法建立数学模型的一般过程如图

解析法建立数学模型

2.4 结构图的变换与化简

结构图的基本连接方式有串联、并联和反馈三种。
结构图变换是一种手段，即通过结构图变换使系统中只出现 3 种基本形式，再进行处理。
常见的变换方式有：

结构图变换方式

2.5 Mason 增益公式

应用 Mason 公式可以直接求出系统的传递函数。

Mason 公式：

$\frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^n P_k \Delta_k$

式中：

$n$ ——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数。
$P_k$ ——从输入节点到输出节点的第 $k$ 条前向通路总增益。
$\Delta$ ——为特征式，由系统信号流图中各回路增益确定：

$\Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_b L_c - \sum L_d L_e L_f + \cdots$

式中：

$\sum L_a$ ——所有单独回路增益之和；
$\sum L_b L_c$ ——所有存在的两两互不接触的单独回路增益乘积之和；
$\sum L_d L_e L_f$ ——所有存在的三个之间互不接触的单独回路增益乘积之和。
$\Delta_k$ ——为第 $k$ 条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第 $k$ 条前向通路接触的回路后的 $\Delta$ 值的剩余部分。

2.6 闭环系统传递函数

以如图 2-5 所示的典型系统结构图为例进行分析。

典型系统结构图

给定输入单独作用下的系统闭环传递函数：
$\Phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1 G_2}{1 + G_1 G_2 H} = \frac{G_1 G_2}{1 + G_0}$
扰动输入单独作用下的闭环系统：
$\Phi_n(s) = \frac{C(s)}{N(s)} = \frac{G_2}{1 + G_1 G_2 H} = \frac{G_2}{1 + G_0}$
误差传递函数：
- 给定输入单独作用下的闭环系统：
  $E_r(s) = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1 + G_1 G_2 H} = \frac{1}{1 + G_0}$
- 扰动输入单独作用下的闭环系统：
  $E_n(s) = \frac{E(s)}{N(s)} = \frac{G_2 H}{1 + G_1 G_2 H} = \frac{G_2 H}{1 + G_0}$
- 给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输出量和偏差输出量：
  $\Phi(s) R(s) + \Phi_n(s) N(s), \quad E(s) = E_r(s) R(s) + E_n(s) N(s)$

3. 线性系统的时域分析法

线性系统的时域分析法

3.1 典型输入信号

阶跃信号： $\Rightarrow R(s) = \frac{1}{s}$
斜坡信号： $\Rightarrow R(s) = \frac{1}{s^2}$
抛物线信号： $\frac{1}{2} t^2 \Rightarrow R(s) = \frac{1}{s^3}$
脉冲信号： $\delta(t) \Rightarrow R(s) = 1$
正弦信号： $\sin \omega t \ (t \geq 0) \Rightarrow R(s) = \frac{A \omega}{s^2 + \omega^2}$

3.2 系统的时间响应过程和时域性能指标

响应过程
- 动态过程：系统在典型输入信号作用下，初始量从初始状态到最终状态的响应过程。稳定系统的动态过程必是衰减的。
- 稳态过程：典型输入作用下，时间趋于无穷时输出量的表现形式。
性能指标
- 动态性能指标
  - 上升时间 $t_r$ ：响应曲线从零到第一次达到稳态值所需要的时间。
  - 峰值时间 $t_p$ ：响应曲线从零到第一个峰值所需要的时间。
  - 调节时间 $t_s$ ：响应曲线从零到达并停留在稳态值的 $\pm 5\%$ 或 $\pm 2\%$ 误差范围所需要的最小时间。
  - 延迟时间 $t_d$ ：指响应曲线第一次达到其稳态值一半时所需的时间。
  - 超调量 $\sigma\%$ ：系统在响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数。
    $\sigma\% = \frac{y(t_p) - y(\infty)}{y(\infty)} \times 100\%$
    其中， $y(\infty)$ 为 $\to \infty$ 时的输出值。
- 稳态性能指标
  用稳态误差来描述，是系统抗干扰精度或抗干扰能力的一种量度。

3.3 一阶系统的响应

1. 一阶系统的数学模型

微分方程 $\frac{d c(t)}{dt} + c(t) = r(t)$ ，闭环传递函数 $\Phi(s) = \frac{1}{T s + 1}$ 。

标准一阶系统的结构图如下：

标准一阶系统结构图

标准一阶系统只有一个参数：时间常数 $T$ 。

2. 一阶系统时域分析

一阶系统时域分析

单位阶跃响应：
$\quad c(t) = 1 - e^{-t / T}$
单位脉冲响应：
$\delta(t), \quad c(t) = \frac{1}{T} e^{-t / T}$
单位斜坡响应：
$\quad c(t) = t - T + T e^{-t / T}$

3.4 二阶系统的响应及时域性能指标

1. 二阶系统的数学模型

典型二阶系统如图所示。

典型二阶系统

闭环传递函数：
$\Phi(s) = \frac{K}{T_m s^2 + s + K} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$
其中，

$\large\omega_n = \sqrt{\frac{K}{T_m}} \quad (\text{无阻尼振荡频率，自然频率})$

$\large\zeta = \frac{1}{2 \sqrt{T_m K}} \quad (\text{阻尼比})$
特征方程：
$s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2 = 0$
特征根：
$s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}$

2. 二阶系统的阶跃响应

欠阻尼二阶系统 $\zeta < 1$ ：

$\begin{align*} c(t) & =1-{{e}^{-\zeta {{\omega }_{n}}t}}\cos {{\omega }_{d}}t-\frac{\zeta }{\sqrt{1-{{\zeta }^{2}}}}{{e}^{-\zeta {{\omega }_{n}}t}}\sin {{\omega }_{d}}t \\ & =1-\frac{1}{\sqrt{1-{{\zeta }^{2}}}}{{e}^{-\zeta {{\omega }_{n}}t}}\sin ({{\omega }_{d}}t+\beta ) \end{align*}$

无阻尼系统 $\zeta = 0$ ：
$\cos \omega_n t$
临界阻尼系统 $\zeta = 1$ ：
$e^{-\omega_n t} (1 + \omega_n t)$
过阻尼系统 $\zeta > 1$ ：
$T_1 = \frac{1}{\omega_n (\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1})}, \quad T_2 = \frac{1}{\omega_n (\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1})}, \quad c(t) = 1 + \frac{e^{-t / T_1}}{T_2 / T_1 - 1} + \frac{e^{-t / T_2}}{T_1 / T_2 - 1}$
在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，阻尼比 $\zeta$ 是二阶系统的重要参量。对二阶系统来说，欠阻尼情况是最有实际意义的，通常取 $\zeta = 0.4 \sim 0.8$ 。
闭环特征根与 $\zeta$ 和 $\omega_n$ 有关，根据 $\zeta$ 不同，可分四种情况

3. 二阶系统的动态性能

欠阻尼系统：

$\large t_d \approx \frac{1 + 0.6 \zeta + 0.2 \zeta^2}{\omega_n} \quad \text {或} \quad t_d = \frac{1 + 0.7 \zeta}{\omega_n}$ ，

$t_r \approx \frac{\pi - \beta}{\omega_d}$ ，

$t_p = \frac{\pi}{\omega_d}$ ，

$\large\sigma\% = \frac{h(t_p) - 1}{1} = e^{-\pi \zeta / \sqrt{1 - \zeta^2}} \times 100\%$

$\left\{ \begin{array}{l} t_s = \frac{3.5}{\zeta \omega_n}, \quad \Delta = 0.05 \\ \\ t_s = \frac{4.5}{\zeta \omega_n}, \quad \Delta = 0.02 \end{array} \right.$
过阻尼系统：

$\large t_d = \frac{1 + 0.6 \zeta + 0.2 \zeta^2}{\omega_n}$

$\large t_r = \frac{1 + 1.5 \zeta + \zeta^2}{\omega_n}$

$t_s \approx \left\{ \begin{array}{l} 3 T_1, \quad T_1 \geq 4 T_2 \\ 4.75 T_1, \quad \zeta = 1 \end{array} \right.$

4. 二阶系统性能的改善措施

改善二阶系统性能常用的措施有比例微分控制和测速反馈控制。
采用比例微分控制时，系统同时受到误差比例信号和误差微分信号的共同作用，可在改善系统动态性能的基础上，保持常值稳态误差及系统的自然频率不变。从传递函数的角度看，会增加一个附加零点。
采用测速反馈时，将输出的速度信号反馈到输入端，并与误差信号相比较，可以增大系统的阻尼比，改善系统的动态性能。

5. 高阶系统的时域分析

高阶系统的分析是利用主导极点和偶极子的概念对系统做降阶处理。

闭环主导极点：在系统的时间响应过程中起主要作用的闭环极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。一般认为，如果某个（或某对）极点到虚轴的距离仅为其他闭环极点到虚轴距离的 $\frac{1}{5}$ 或者更小，而且附近没有闭环零点，那么这个（或这对）极点就可以被看作闭环主导极点。
偶极子：如果某对零、极点之间的距离比其自身的模值小一个数量级以上，则该极点和零点就构成了一对偶极子。在高阶系统的近似计算中，偶极子若不是十分靠近坐标原点，则偶极子的作用可以被忽略。
闭环的极点和零点对系统的响应均有影响，但它们的影响效果是不同的。对系统响应影响最大的是主导极点。如果高阶系统存在实数主导极点，则系统可近似为一阶系统；如果高阶系统存在共轭复数主导极点，则系统可近似为欠阻尼二阶系统。

6. 线性系统的稳定性分析

稳定性的基本概念
- 定义 1：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态；而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。
- 定义 2：系统在有界输入或扰动量的作用下，输出也是有界的，则系统是稳定的，否则系统为不稳定系统。
线性系统稳定的充要条件：系统特征方程式所有的根都位于 $s$ 平面的左半平面。
劳斯判据

系统特征方程的标准形式：
$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n = 0$
根据特征方程，按如下原则列劳斯表：
$\begin{array}{ccccccc} s^n & a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & \cdots \\ s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ s^2 & e_1 & e_2 & & & \\ s^1 & f_1 & & & & \\ s^0 & g_1 & & & & \\ \end{array}$
其中：
$b_1 = \frac{a_1 a_2 - a_0 a_3}{a_1}, \quad b_2 = \frac{a_1 a_4 - a_0 a_5}{a_1}, \quad b_3 = \frac{a_1 a_6 - a_0 a_7}{a_1}, \quad \cdots$
$c_1 = \frac{b_1 a_3 - a_1 b_2}{b_1}, \quad c_2 = \frac{b_1 a_5 - a_1 b_3}{b_1}, \quad c_3 = \frac{b_1 a_7 - a_1 b_4}{b_1}, \quad \cdots$
- 系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第一列元素必须为正。若第一列不全为正，则系统不稳定。第一列各系数符号的改变次数即为系统特征方程的正实部根数。
- 在计算 Routh 阵列时，有两种特殊情况：
  - 一是 Routh 阵列的首列中出现零元素且该元素所对应的行不全为零。此时，可用一小正数 $\varepsilon$ 代替该零元素，继续算完 Routh 阵列后再取 $\varepsilon \to 0$ 的极限。
  - 二是 Routh 阵列中出现了全零行。这种情况说明系统中出现了关于 $s$ 平面的坐标原点对称的特征根（如共轭纯虚根等）。此时，可用全零行的上一行元素作为系数构造辅助方程，对辅助方程关于 $s$ 求导，用求导后方程所对应的系数代替全零行的各个元素，继续算完 Routh 阵列，而那些对称根可由辅助方程解出。
Hurwitz 判据
- 线性系统稳定的充要条件是由特征方程的各项系数所构成的 Hurwitz 阵列的主子式及顺序主子式全部为正。
- 对于线性定常二阶系统，设其特征方程为：
  $a_0 s^2 + a_1 s + a_2 = 0$
  系统稳定的充要条件是：
  $a_0 > 0, \quad a_1 > 0, \quad a_2 > 0$
- 对于线性定常三阶系统，设其特征方程为：
  $a_0 s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3 = 0$
  系统稳定的充要条件是：
  $a_i > 0 \quad \text{且} \quad a_1 a_2 > a_0 a_3$
稳态误差分析
- 系统误差的定义：
  - 定义 1（输入端定义）： $E (S) = R (s) - B (s)$
  - 定义 2（输出端定义）： $E(s) = C_r(s) - C(s)$ 。其中， $C_r(s)$ 表示期望输出。
    
    对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。
- 误差传递函数
  - 输入信号 $r (t)$ 作用下的误差传递函数：
    $\varphi_{er}(s) = \frac{E(s)}{R(s)}$
  - 扰动信号 $n (t)$ 作用下的误差传递函数：
    $\varphi_{en}(s) = \frac{E(s)}{N(s)}$
- 稳态误差 $e_{ss}$ 是系统的误差响应达到稳态时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是系统的稳态指标。
  
  注意：稳态误差存在的前提是系统稳定。
- 稳态误差终值 $e_{ss}$ 的计算：
  $e_{ss} = e_{ssr} + e_{ssn}$
  其中， $e_{ssr}$ 和 $e_{ssn}$ 分别表示输入作用和扰动作用下的稳态误差的终值。在终值定理应用条件满足的情况下，可以用终值定理分别计算 $e_{ssr}$ 和 $e_{ssn}$ 。这是计算稳态误差最基本的方法。
  $\begin{aligned} e_{ssr} &= \lim_{t \to \infty} (r) = \lim_{s \to 0} E_r(s) = \lim_{s \to 0} \varphi_{er}(s) R(s) \\ e_{ssn} &= \lim_{t \to \infty} (n) = \lim_{s \to 0} E_n(s) = \lim_{s \to 0} \varphi_{en}(s) N(s) \end{aligned}$
- 稳态误差 $e_{ss}$ 的快速计算
  
  应用系统“类型”的概念可以快速判断 $e_{ssr}$ （或 $e_{ssn}$ ）是零、常数、还是无穷大。例如误差从输入端定义的话，开环传递函数整理为：
  $\frac{K \prod_{i=1}^{m} (\tau_i s + 1)}{s^v \prod_{j=1}^{n-v} (T_j s + 1)}$
  在“尾 1”型的表达形式中， $G (s) H (s)$ 分母中含有 $s^v$ 因式。
  $K$ 为系统的开环增益， $v$ 为系统所对应的“类型”，即开环传递函数中所包含的积分环节的数目。
- 静态误差系数法求稳态误差：
  - 单位阶跃输入下：
    $K_p = \lim_{s \to 0} G(s) H(s) = \lim_{s \to 0} \frac{K}{s^v} = \begin{cases} K, & v = 0 \\ \infty, & v = 1 \\ \infty, & v = 2 \end{cases} \Rightarrow e_{ss} = \frac{1}{1 + K_p} = \begin{cases} \frac{1}{1 + K}, & v = 0 \\ 0, & v = 1 \\ 0, & v = 2 \end{cases}$
  - 单位斜坡输入下：
    $K_v = \lim_{s \to 0} s G(s) H(s) = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{K}{s^v} = \begin{cases} 0, & v = 0 \\ K, & v = 1 \\ 0, & v = 2 \end{cases} \Rightarrow e_{ss} = \frac{1}{K_v} = \begin{cases} \infty, & v = 0 \\ \frac{1}{K}, & v = 1 \\ 0, & v = 2 \end{cases}$
  - 单位抛物线输入下：
    $K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s) H(s) = \lim_{s \to 0} s^2 \cdot \frac{K}{s^v} = \begin{cases} 0, & v = 0 \\ 0, & v = 1 \\ K, & v = 2 \end{cases} \Rightarrow e_{ss} = \frac{1}{K_a} = \begin{cases} \infty, & v = 0 \\ \infty, & v = 1 \\ \frac{1}{K}, & v = 2 \end{cases}$

3.5 例题

例题 1
例题 2
例题 3
例题 4

4. 线性系统的根轨迹法

线性系统的根轨迹法

4.1 根轨迹及其绘制方法

1. 根轨迹的基本概念

定义：开环系统某一参数（如开环增益 $K$ 或根轨迹增益 $K^*$ ）从零变化到无穷时，闭环特征根在 $s$ 平面上的变化轨迹。
根轨迹与系统性能的关系
- 稳定性：根轨迹在 $s$ 左半平面时，系统稳定；根轨迹部分穿过右半平面，系统条件稳定；根轨迹全在右半平面，系统不稳定。
- 稳态性能：原点处的开环极点决定系统的型别，从而决定静态误差系数。动态性能：根轨迹上的点与虚轴的距离表明系统的动态性能。
根轨迹方程
- 闭环系统特征方程：
  $1 + G (s) H (s) = 0$
  等效变换如下：
  $G (s) H (s) = - 1$
  即：
  $K^* \frac{\prod_{j=1}^{m} (s - z_j)}{\prod_{i=1}^{n} (s - p_i)} = -1 = 1 \cdot e^{j (2k + 1) \pi}$
  此方程等效为以下两个方程：
  - 相角条件：
    $\sum_{j=1}^{m} \angle (s - z_j) - \sum_{i=1}^{n} \angle (s - p_i) = (2k + 1) \pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$
  - 幅值条件：
    $K^* \frac{\left| \prod_{j=1}^{m} (s - z_j) \right|}{\left| \prod_{i=1}^{n} (s - p_i) \right|} = 1 \Leftrightarrow K^* = \frac{\left| \prod_{i=1}^{n} (s - p_i) \right|}{\left| \prod_{j=1}^{m} (s - z_j) \right|}$

2. 常规根轨迹绘制的基本法则

法则 1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
法则 2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环零点数 $m$ 和开环极点数 $n$ 中的大者相等；它们连续并对称于实轴。
法则 3：根轨迹渐近线。当开环极点数 $n$ 大于开环零点数 $m$ 时，有 $n - m$ 条根轨迹分支趋于无穷远处，并且渐近线与实轴交点坐标为：
$\sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^{n} p_i - \sum_{j=1}^{m} z_j}{n - m}$
渐近线与实轴的正半轴的夹角为：
$\varphi_a = \frac{(2k + 1) \pi}{n - m}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots, n - m - 1$
法则 4：若实轴上某一段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹的一部分。
法则 5：根轨迹的分离点与分离角。 $n$ 条根轨迹在 $s$ 平面上相遇后又分开的点称为分离点，分离点的坐标由以下公式求出：
$\sum_{j=1}^{m} \frac{1}{d - z_j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{d - p_i}$
法则 6：根轨迹始于开环复数极点处的根轨迹的起始角和止于开环复数零点处的根轨迹的终止角可分别按下式计算：
$\begin{aligned} \theta_{p_i} &= (2k + 1) \pi + \left( \sum_{\substack{j=1}}^{m} \varphi_{z, p_i} - \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n} \theta_{p_j p_i} \right), \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \\ \theta_{z_i} &= (2k + 1) \pi + \left( \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{m} \varphi_{z, z_i} - \sum_{j=1}^{n} \theta_{p_j z_i} \right), \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{aligned}$
法则 7：若根轨迹与虚轴相交，则交点处的 $K^*$ 值和 $\omega$ 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 $\omega$ ，然后分别令其实部和虚部为零而求得。
法则 8：根之和 $\sum_{i=1}^{n} s_i = \sum_{i=1}^{n} p_i$ 。

3. 绘制根轨迹的一般步骤

在已知系统的开环零、极点的情况下，利用以上绘制根轨迹的基本法则就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。绘制概略根轨迹的一般步骤为：

根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并把它们标在复平面上。
确定实轴上的根轨迹。
确定根轨迹的渐近线。
确定根轨迹的分离点（会合点）。
计算根轨迹的起始角和终止角。
确定根轨迹与虚轴的交点。
大体绘出根轨迹的概略形状。
必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统的精确根轨迹。

绘制根轨迹的流程概括如下：

绘制根轨迹的流程

4. 参数根轨迹

参数根轨迹是除开环增益以外的其他参数变化时，系统闭环特征根在平面上的变化轨迹。此时绘制根轨迹要对特征方程进行等效变换，得到以可变参数为根轨迹增益的单位反馈系统。

5. 零度根轨迹

当 $K^* < 0$ 时，根轨迹的相角条件变为：
$\sum_{i=1}^{m} \angle (s - z_i) - \sum_{j=1}^{n} \angle (s - p_j) = 2k \pi$
对正反馈系统，也有：
$\sum_{i=1}^{m} \angle (s - z_i) - \sum_{j=1}^{n} \angle (s - p_j) = 2k \pi$
此两种情况下闭环系统的根轨迹称为零度根轨迹，绘制法则不同于常规根轨迹，变化部分如下：

法则 3：渐近线与实轴的交角。
$\varphi_a = \frac{2k \pi}{n - m}, \quad k = 0, 1, 2, 3, \cdots, n - m - 1$
法则 4：实轴上的根轨迹。实轴上某段右侧零、极点个数之和为偶数，则该段是根轨迹的一部分。
法则 6：起始角与终止角。
$\begin{aligned} \theta_{p_i} &= 2k \pi + \left( \sum_{j=1}^{m} \varphi_{z_j p_i} - \sum_{\substack{j=1 \\ (j \neq i)}}^{n} \theta_{p_j p_i} \right), \\ \varphi_{z_i} &= 2k \pi + \left( \sum_{\substack{j=1 \\ (j \neq i)}}^{m} \varphi_{z_j, z_i} - \sum_{j=1}^{n} \theta_{p_j z_i} \right), \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{aligned}$

4.2 利用根轨迹进行系统性能分析

分析稳定性
- 根轨迹在 $s$ 左半平面时，系统稳定；
- 根轨迹部分穿过右半平面，系统条件稳定；
- 根轨迹全在右半平面，系统不稳定。
快速性
闭环极点距离虚轴越远，快速性越好。在设计系统时，如要使系统快速性越好，应尽量让闭环极点之间距离加大，零点靠近极点，尤其是靠近离虚轴较近的极点。
平稳性
当闭环极点都是负实数时，除个别情况外，系统一般无超调。当主导极点是一对共轭负数时，该极点与负实轴之间的夹角 $\beta$ 越小，则平稳性越好 $\cos \beta = \zeta$ 。为了兼顾快速性和平稳性，常取 $\beta = 45^\circ$ ，即 $\zeta = 0.707$ ，相当于系统具有最佳阻尼比。
分析系统运动形式
- 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；
- 如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。
稳态性能
原点处的开环极点决定系统的型别，从而决定静态误差系数。
分析实数零、极点对系统性能的影响
- 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；
- 极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小；
- 它们的作用随着其本身接近坐标原点的程度而加强。
确定主导极点、偶极子
- 在 $s$ 平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大 6 倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。
- 如果零、极点之间的距离比它们本身的幅值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略去；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。

4.3 例题

例题 1

例题 2

例题 3

例题 4

例题 5

例题 6

例题 7

例题 8

5. 线性系统的频域分析法

线性系统的频域分析法

5.1 基本概念

1. 频率特性的定义

对于一个稳定的线性定常系统，当输入信号为 $\sin \omega t$ 时，其输出的稳态分量 $y_{ss}(t)$ 是同频率的正弦信号， $y_{ss}(t) = Y \sin (\omega t + \varphi)$ ，与输入信号 $x (t)$ 相比，仅是幅值和相位的变化。
在正弦信号作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。
输出稳态分量的幅值与输入的幅值之比，称为幅频特性 $A(\omega)$ ；
输出稳态分量的相位与输入的相位之差称为相频特性 $\varphi(\omega)$ ；
二者合称为频率特性，即：
$\omega) = G(s) \big|_{s = j \omega} = A(\omega) e^{j \varphi(\omega)}$
式中，
$A(\omega) = |G(j \omega)|, \quad \varphi(\omega) = \angle G(j \omega)$

2. 频率特性的表示法

解析式表示法
- 幅频 - 相频形式：
  $\omega) = |G(j \omega)| \angle G(j \omega)$
- 指数形式：
  $\omega) = A(\omega) e^{j \varphi(\omega)}$
- 三角函数形式：
  $\omega) = A(\omega) \cos \varphi(\omega) + j A(\omega) \sin \varphi(\omega)$
- 实频 - 虚频形式：
  $\omega) = X(\omega) + j Y(\omega)$
几何表示法
- 幅相频率特性曲线（Nyquist 曲线）：以 $\omega$ 为自变量，将幅频和相频同时表示在复平面上，又称为奈奎斯特曲线或极坐标图。
- 对数频率特性曲线（Bode 图）：对数幅频特性曲线横坐标是 $\omega$ ，按照 $\lg \omega$ 分度，纵坐标是 $L(\omega) = 20 \lg A(\omega)$ ，单位是 dB；对数相频特性曲线纵坐标是 $\varphi(\omega)$ 。
- 对数幅相曲线：以 $\omega$ 为自变量，纵坐标为 $L(\omega)$ ，横坐标是 $\varphi(\omega)$ ，均为线性分度。

5.2 开环幅相频率特性曲线

开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：

开环幅相曲线的起点 $\omega = 0$ 和终点 ( $\omega = \infty$ )。
开环幅相曲线与实轴的交点。设 $\omega = \omega_x$ 时， $\omega_x) H(j \omega_x)$ 的虚部为：
$\operatorname{Im} [G(j \omega_x) H(j \omega_x)] = 0$
也可表示为：
$\varphi(\omega_x) = \angle G(j \omega_x) H(j \omega_x) = k \pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$
称 $\omega_x$ 为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为：
$\operatorname{Re} [G(j \omega_x) H(j \omega_x)] = G(j \omega_x) H(j \omega_x)$
开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。

1. 绘制开环幅相曲线的规律

绘制开环概略幅相曲线的规律如下：

开环幅相曲线的起点，取决于比例环节 $K$ 和系统积分或微分环节的个数 $v$ （系统型别）。
- 当 $v < 0$ 时（微分环节个数），起点为实点；
- 当 $v = 0$ 时，起点为实轴上的点 $K$ 处（ $K$ 为系统开环增益，注意 $K$ 有正负之分）；
- 当 $v > 0$ 时（积分环节个数），设 $v = 4 k + i$ （ $\cdots$ ； $i = 1, 2, 3, 4$ ），则当 $K > 0$ 时起点为 $\times (-90^\circ)$ 的无穷远处，即：
  $\infty \angle [i \times (-90^\circ)]$
  当 $K < 0$ 时起点为 $\times (-90^\circ) - 180^\circ$ 的无穷远处，即：
  $\infty \angle [i \times (-90^\circ) - 180^\circ]$
开环幅相曲线的终点，取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相位环节和非最小相位环节的阶次和。
- 设系统开环传递函数的分子、分母多项式的阶次分别为 $m$ 和 $n$ ，记除 $K$ 外，分子多项式中最小相位环节的阶次和为 $m_1$ ，非最小相位环节的阶次和为 $m_2$ ，分母多项式中最小相位环节的阶次和为 $n_1$ ，非最小相位环节的阶次和为 $n_2$ ，则有：
  $\varphi(\infty) = \begin{cases} m = m_1 + m_2, \quad n = n_1 + n_2 \\ \left[(m_1 - m_2) - (n_1 - n_2)\right] \times 90^\circ, & K > 0 \\ \left[(m_1 - m_2) - (n_1 - n_2)\right] \times 90^\circ - 180^\circ, & K < 0 \end{cases}$
  特殊地，当开环系统为最小相位系统时：
  $\begin{cases} n = m, & G(j \infty) H(j \infty) = K^* \\ n > m, & G(j \infty) H(j \infty) = 0 \angle (n - m) \times (-90^\circ) \end{cases}$
  式中 $K^*$ 为系统开环根轨迹增益。
  
  最小相位系统：对于闭环系统，如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于或等于零，则称它是最小相位系统；如果开环传递函数中有正实部的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。
  所有开环零极点都位于复平面的左半平面，称为最小相位环节。反之，有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面或系统具有延迟环节则称为非最小相位环节。
若开环系统存在等幅振荡环节，重数 $l$ 为正整数，即开环传递函数具有下述形式：
$\frac{1}{\left( \frac{s^2}{\omega_n^2} + 1 \right)^l} G_1(s) H_1(s)$
$G_1(s) H_1(s)$ 不含 $±jωn \pm j \omega_n$ 的极点，则当 $\omega$ 趋于 $\omega_n$ 时， $A(\omega)$ 趋于无穷，而
$\begin{cases} \varphi(\omega_{n^-}) \approx \varphi_1(\omega_{n^-}) = \angle G_1(j \omega_{n^+}) H_1(j \omega_{n^-}) \\ \varphi(\omega_{n^+}) \approx \varphi_1(\omega_{n^+}) - l \times 180^\circ \end{cases}$
即 $\varphi(\omega)$ 在 $\omega = \omega_n$ 附近，相角突变 $\times 180^\circ$ 。

2. 典型环节的幅相曲线

典型环节的幅相曲线 1

典型环节的幅相曲线 2

5.3 Nyquist曲线

如果是 0 型系统，开环幅相曲线就是奈奎斯特曲线，但如果它不是 0 型系统就要在幅相曲线补齐虚线才是奈奎斯特曲线。

1. 绘制奈奎斯特曲线

当系统的开环传递函数有积分环节时，映射曲线 $\Gamma_{GH}$ 是系统开环幅相曲线 ( $\omega = -\infty \rightarrow \infty$ )，即当系统的开环传递函数包含积分环节时奈氏曲线的绘制方法为：

绘制出 $\omega = 0^+ \rightarrow \infty$ 的幅相曲线；
从 $G(j0^+) H(j0^+)$ 开始，用虚线逆时针补画半径无穷大的 $\cdot 90^\circ$ 的圆弧，此段圆弧对应 $\omega = 0^- \rightarrow 0^+$ 的幅相曲线；
奈氏路径 $\operatorname{Im}(s) \leqslant 0$ 时的奈氏曲线是将上述幅相曲线作关于实轴镜像曲线得到，也即为 $\omega = -\infty \rightarrow 0^-$ 时的幅相曲线。

注意事项

低频段：当 $\omega \rightarrow 0^+$ 时，Nyquist 曲线位于起点
$A(\omega) = \begin{cases} \text{等于常数}, & v = 0 \\ \rightarrow \infty, & v \geq 1 \end{cases}$
对于最小相位系统
$\varphi(\omega) = \begin{cases} \rightarrow 0^\circ, & v = 0 \\ \rightarrow -90^\circ, & v = 1 \\ \rightarrow -180^\circ, & v = 2 \\ \rightarrow -270^\circ, & v = 3 \end{cases}$
当系统中含有纯微分环节时，只要取 $v$ 为负的微分环节的个数即可。
中频段：
- 拐点：含有零点的个数就是系统凸凹变化的次数。
- 与实轴交点：使虚频 $V(\omega) = 0$ 的频率 $\omega$ ，代入实频 $U(\omega)$ ，即可得与实轴交点的横坐标。
- 与虚轴交点：使实频 $U(\omega) = 0$ 的频率 $\omega$ ，代入虚频 $V(\omega)$ ，即可得与虚轴交点的纵坐标。
高频段：当 $\omega \rightarrow \infty$ 时，Nyquist 曲线位于终点。
当传递函数分子的阶次 $m$ 小于分母的阶次 $n$ 时， $A(\omega) \rightarrow 0$ ，终点位于坐标原点。
当 $n = m$ 时， $A(\omega) \rightarrow$ 常数。

2. 奈奎斯特稳定判据

反馈控制系统稳定的充分必要条件是完整的 Nyquist 曲线 $\Gamma_{GH}$ 不穿过 $(- 1, j 0)$ 点，且逆时针包围临界点 $(- 1, j 0)$ 点的圈数 $R$ 等于开环传递函数的正实部极点数 $P$ ，即：

$Z = P - R$

若 $Z = 0$ ，闭环系统稳定；反之，闭环系统不稳定，闭环有 $Z$ 个右半平面极点。

考虑到 $\Gamma_{GH}$ 的对称性，一般只看 $\omega$ 从 $0^- \rightarrow 0^+ \rightarrow +\infty$ 的映射曲线 $\frac{1}{2} \Gamma_{GH}$ ，

$\quad N = N_+ - N_-$

$N$ 为曲线 $\frac{1}{2} \Gamma_{GH}$ 穿越 $(- 1, j 0)$ 点以左负实轴的次数。规定：逆时针为正，顺时针为负。即 $N_+$ 为逆时针穿越的次数， $N_-$ 为顺时针穿越的次数。

5.4 开环对数频率特性曲线（Bode图）

1. Bode图的绘制

记 $\omega_{\text{min}}$ 为最小交接频率，称 $\omega < \omega_{\text{min}}$ 的频率范围为低频段。则开环对数幅频渐近特性曲线的绘制按以下步骤进行：

开环传递函数典型环节分解。
确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的 $\omega$ 轴上。
绘制低频段渐近特性线：
由于一阶环节或二阶环节的对数幅频特性曲线在交接频率前斜率为 $\ \text{dB}/\text{dec}$ ，在交接频率处斜率发生变化，故在 $\omega < \omega_{\text{min}}$ 频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于 $\frac{K}{\omega^v}$ ，因而直线斜率为 $\ \text{dB}/\text{dec}$ 。
为获得低频渐近线，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：
- 方法一：在 $\omega < \omega_{\text{min}}$ 范围内，任选一点 $\omega_0$ ，计算
  $L_a(\omega_0) = 20 \lg K - 20v \lg \omega_0$
- 方法二：取频率为特定值 $\omega_0 = 1 \ \text{rad}/\text{s}$ ，则
  $L_a(1) = 20 \lg K$
- 方法三：取 $L_a(\omega_0)$ 为特殊值 0，则有
  $\frac{K}{{\omega_0}^v} = 1 \Rightarrow \omega_0 = K^{\frac{1}{v}}$
  于是，过点 $(\omega_0, L_a(\omega_0))$ 在 $\omega < \omega_{\text{min}}$ 范围内可作斜率为 $\ \text{dB}/\text{dec}$ 的直线。
  显然，若有 $\omega_0 > \omega_{\text{min}}$ ，则点 $(\omega_0, L_a(\omega_0))$ 位于低频渐近特性曲线的延长线上。
作 $\omega \geq \omega_{\text{min}}$ 频段渐近特性线：
在 $\omega \geq \omega_{\text{min}}$ 频段，系统开环对数幅频渐近特性曲线表现为折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类。应该注意的是，当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。

2. 典型环节的对数频率特性曲线

典型环节的对数频率特性曲线

3. 对数频域稳定判据

$\quad N = N_+ - N_-$
若 $Z = 0$ ，闭环系统稳定；反之，闭环系统不稳定，闭环有 $Z$ 个右半平面极点。

在 $L(\omega) > 0$ 范围的 $\omega$ 频段中， $\Gamma_\varphi$ 由下向上穿越 $1)\pi$ 线为正穿越； $\Gamma_\varphi$ 由上向下穿越 $1)\pi$ 线为负穿越。

5.5 稳定裕度

1. 相角裕度 $\gamma$

定义相角裕度为：
$\gamma = 180^\circ + \angle G(j \omega_c) H(j \omega_c)$
其中 $\omega_c$ 为系统的截止频率，满足
$A(\omega_c) = |G(j \omega_c) H(j \omega_c)| = 1$
相角裕度 $\gamma$ 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 $\gamma$ 度，则系统将处于临界稳定状态。

2. 幅值裕度 $h$

定义幅值裕度为：
$\frac{1}{|G(j \omega_x) H(j \omega_x)|}$
其中 $\omega_x$ 为系统的穿越频率，满足
$\varphi(\omega_x) = \angle G(j \omega_x) H(j \omega_x) = (2k + 1)\pi; \quad k = 0, \pm 1, \cdots$
幅值裕度 $h$ 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 $h$ 倍，则系统将处于临界稳定状态。

对数坐标下，幅值裕度按下式定义：
$\lg |G(j \omega_x) H(j \omega_x)|$
单位为 dB。

相角裕度和幅值裕度在频率特性曲线上的表示如下。

相角裕度和幅值裕度

5.6 闭环系统的频域性能指标

闭环频率特性：
$\Phi(j \omega) = \Phi(s) \big|_{s = j \omega} = M(\omega) e^{j \alpha(\omega)}$

谐振峰值 $M_r$ ：闭环幅频特性曲线上的最大值点。出现谐振峰值时的频率称为谐振频率 $\omega_r$ 。
- 二阶系统：
  $\begin{cases} M_r = \frac{1}{2 \zeta \sqrt{1 - \zeta^2}}, & 0 < \zeta \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2 \zeta^2} \end{cases}$
  可见， $M_r$ 越大，表示 $\zeta$ 越小，系统平稳性越差。
频带宽度和带宽频率

闭环对数幅频特性下降到频率为 0 时的分贝值以下 3 dB 时，对应的频率称为带宽频率 $\omega_b$ 。
$\lg |\Phi(j \omega_b)| = 20 \lg |\Phi(j0)| - 3 \quad \text{或} \quad |\Phi(j \omega_b)| = \frac{\sqrt{2}}{2} |\Phi(j0)|$
$\sim \omega_b$ 间的频率段称频带宽度，简称带宽。它表明对高于带宽频率的输入信号，系统输出将出现较大的衰减。 $\omega_b$ 越大， $\omega_n$ 越大，响应速度越快。

5.7 频域指标和时域指标的关系

1. 常见性能指标

性能指标类型	暂态指标（平稳性相关）	暂态指标（快速性相关）	稳态指标
时域指标	超调量百分比 $\sigma\%$ ，阻尼比 $\zeta$	调节时间 $t_s$ ，上升时间 $t_r$ ，峰值时间 $t_p$	稳态误差 $e_{ss}$
开环频域指标	相角裕度 $\gamma$ ，幅值裕度 $h$	截止频率 $\omega_c$ ，穿越频率 $\omega_x$	$L(\omega)$ 的低频段特性
闭环频域指标	闭环谐振峰值 $M_r$	带宽频率 $\omega_b$ ，谐振频率 $\omega_r$	闭环零频值

这些指标之间的定性关系：

$\sigma\%, \gamma, M_r$ 决定了系统的平稳性，提高 $\gamma$ 或降低 $\sigma\%, M_r$ ，对平稳性有利。
$t_r, t_p, t_s, \omega_c, \omega_b, \omega_r$ 决定了系统的快速性。减小 $t_r, t_p, t_s$ 或提高 $\omega_c, \omega_b, \omega_r$ 对快速性有利。

2. 开环频率特性的“三频段”与系统性能之间的关系

典型的开环对数幅频特性图如下：

开环对数幅频特性图

定义： $\frac{\omega_3}{\omega_2}$ 为中频宽。

可以推出：
$\frac{1}{\sin \gamma} = M_r = \frac{H + 1}{H - 1}, \quad H = \frac{M_r + 1}{M_r - 1}$
“三频段”与系统性能之间的关系：
- 低频段决定了系统的稳态精度，从提高稳态精度的角度，低频段越高 ( $K$ 越大) 越陡 ( $v$ 越大) 越好。
- 中频段决定了系统的动态性能，为获得良好的动态性能，应使 $\gamma$ 在 $30^\circ \sim 70^\circ$ 之间， $L(\omega)$ 应以 $- 20$ 的斜率穿过 $\omega$ 轴，而且中频段应有足够的宽度。
- 高频段决定了系统抗高频干扰的能力。从提高抗干扰性能的角度，高频段越低、越陡，抑制噪声的能力越强。