排序---堆排序

最新推荐文章于 2025-06-04 16:44:23 发布

spryyang

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文章标签：算法排序堆堆排序二叉树

本文链接：https://blog.csdn.net/spryyang/article/details/17362809

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定义：
1）当一棵二叉树的每个节点都大于等于它的两个子节点时，它被称为堆有序。如下图为一棵堆有序的完全二叉树：
2）二叉堆是一组能够用堆有序的完全二叉树排序的元素，并在数组中按照层级存储（不使用数组的第一个元素）。
      在一个二叉堆中，位置为K的节点，它的父节点位置在⌊K/2⌋，它的两个子节点分别在2K和2K+1.这样就可以不通过指针，只通过计算数组索引在树中进行移动。向上移动一层，就令K=K/2，向下移动一层，就令K=2K或者2K+1.结构如下图所示：
堆的算法：
    这里使用长度为N+1的数组表示大小为N的堆，不使用数据的第0个位置。
    排序的过程中会使用到比较函数和交换函数分别如下：

    boolean less(int[] pq, int i, int j)
    {
        return pq[i] < pq[j];
    }
    void exch(int[] pq, int i, int j)
    {
        int tmp = pq[i];
        pq[i] = pq[j];
        pq[j] = tmp;
    }

堆的有序化过程中，会遇到两种情况：当某个节点的优先级上升（比如在堆的最后加入一个新的元素），此时需要自下而上的恢复堆的顺序；当某个节点的优先级下降（比如将跟节点替换为一个较小的元素），此时需要自上而下的恢复堆的顺序。

1）自下而上的恢复堆的顺序（上浮）

如果堆的有序化，由于某个节点比他的父节点大而打破，此时只需要交换该节点与其父节点即可。如果交换后，仍比父节点大，需要将该节点不断上移，来恢复堆的有序化。注意位置K的节点父节点是K/2。

 public static void swim(int[] pq, int k)
    {
        while (k >1 && less(pq, k/2, k))
        {
            exch(pq, k/2, k);
            k = k/2;
        }
    }

2）自上而下的恢复堆的顺序（下沉）

如果堆的有序化，由于某个节点比他的子节点小而打破，此时需要交换该节点与其最大的子节点。如果交换后，仍比子节点小，则需将该节点不断下沉，来恢复堆的有序化。

 public static void sink(int[] pq, int k, int N)
    {
        while (2*k <= N)
        {
            int j = 2 * k;
            if (j < N && less(pq, j, j+1))
            {
                j++;
            }
            if (!less(pq, k, j))
            {
                break;
            }
            exch(pq, k, j);
            k = j;
        }
    }

插入元素。将新增加的元素放到数组末尾，调整数组大小，并让这个新元素上浮到合适的位置，保证堆的有序化。

删除最大元素。将根节点的元素删除，然后将数据末尾的元素移动到根节点的位置，调整数组的大小，让根节点的元素下沉到合适的位置，保证堆的有序化。

堆排序

堆排序可以分为两个阶段。

1）堆的构造，将原始数组安排到一个堆中。

目标：构造一个堆有序的数组，并使最大元素位于数组的开头。可以从右向左通过sink函数来构造子堆，此时，我们只需要扫描数组中一半的元素即可。

2）下沉排序

将堆中最大的元素删除，然后放入堆缩小后数组空出的位置。循环执行，直到堆中元素个数变为1.

 public static void Tsort(int[] pq, int N)
    {
        for (int k=N/2; k>0; k--)
        {
            sink(pq, k, N);
        }
        while (N > 1)
        {
            exch(pq, 1, N--);
            sink(pq, 1, N);
        }
    }