高光谱图像中的目标检测（二）| 稀疏表示与学习字典

本文介绍一种利用学习字典稀疏表示HSI（Hyperspectral Imagery）数据进行高光谱图像目标检测的算法。主要应用于对full-pixel target的检测。

1.稀疏表示

稀疏表示（Sparse Representation/Sparse approximation）的数学表达为 $y = Dx$, 其中y表示待表示的信号，D是字典，x是一个稀疏向量。
在高光谱图像中，可以将y理解为一个像素点的光谱维数据组成的向量（K*1维），D是一个矩阵（K*M维），每个列向量可以理解为端元，x（M*1维）表示每个端元的丰度。x是稀疏的（大多数元素为0），这意味着信号y可以由D中若干个少数列向量的线性组合表示出来。x中非0元素的个数为x的稀疏度（sparsity）。
字典有时也会被叫为过完备基（overcomplete basis），从线性代数基的角度很好理解，有$K \le M$。但在HSI中有时不需要这么多数量的基，所以可能不满足过完备基的定义。

2. 字典学习

字典D的获得主要有两种方式：
（1）无学习过程的方法：直接将训练样本作为字典中的基（一个列向量），适用于所处理的数据集中训练样本较少的情况，比如HSI中目标字典的获取，由于整幅图像中目标像素点往往很少，所以直接用目标像素点形成目标字典。
（2）有学习过程的方法：一般过程为从训练数据中提取若干样本，再在稀疏约束下依据样本迭代求解一组过完备基。
稀疏约束的表示如下：

稀疏度的x表示本来为0范数，但是L0范数很难求解，是一个NPhard问题，所以往往使用L1范数来对其进行凸近似。(详细解释移步http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995/)

3.目标检测的 STD与SRBBH模型

x是观测的一个高光谱像素，B维。如果x是一个背景像素，那么它的光谱位于背景训练样本扩展的B维的子空间中，数学表示为：