CINTA作业三：同余、模指数、费尔马小定理、欧拉定理

最新推荐文章于 2025-05-31 20:44:38 发布

llliiiyi

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文章标签：线性代数图论矩阵

本文链接：https://blog.csdn.net/scnu2020/article/details/121752023

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1、实现求乘法逆元的函数，给定a和m，求a模m的乘法逆元，无解时请给出无解提示，并且只返回正整数。进而给出求解同余方程（ax = b mod m）的函数，即给定a，b，m，输出满足方程的x，无解给出无解提示。

//实现求乘法逆元的函数
#include <iostream>
using namespace std;
int multi_inverse(int a, int m);

int main()
{
	int a, m;
	cin >> a >> m;
	int Multi_Inverse = multi_inverse(a, m);
	if (Multi_Inverse == -1)
		cout << "无解" << endl;
	else
		cout << "逆元是" << Multi_Inverse;
}

//求a模m的乘法逆元
int multi_inverse(int a, int m)
{
	int s, t;
	//gcd(a,m)!=1 无解
	if (egcd(a, m, &s, &t) != 1)
	{
		return -1;
	}

	//gcd(a,m)=1  此时有解，且逆元取决于a前面的系数
	else
	{
		//又基于egcd函数会将大的输入数与s系数配对，小的输入数反之则与t配对，下面进行对a和m判断大小

		if (a > m) //此时s即是a前面的系数
		{
			if (s < 0)
				s = s + m;//根据逆元定义:负数要转化为正数
			return s;
		}
		else       //对此时t即是a前面的系数
		{
			if (t < 0)
				t = t + m;
			return t;
		}
	}
}

2、实现模指数运算的函数，给定x、y和m，求x的y次方模m。

#include<iostream>
#include<cmath> 
using namespace std;
enum evenodd{even,odd};
evenodd Y; 
//input x、y、m		
//return (x^y)mod m 
int ModulusIndex(int x,int y,int m)
{
	if(y==0) return 1; 
	int next=ModulusIndex(x,y/2,m);
	y%2==1?Y=odd:Y=even;		//判断y为偶数还是奇数
	if(Y==even) return (next*next)%m;
	else return (x*next*next)%m; 
}

int main()
{
	int x=0,y=0,m=0;
	int YorN=0;			//again or exit
	do
	{ 
		cout<<"请先后输入x、y、m：((x^y)mod m )";
		cin>>x>>y>>m;
		cout<<ModulusIndex(x,y,m);
		cout<<"\nagian input 1,exit input 0：";
		cin>>YorN;
	}while(YorN==1);
	return 0;
}

3、设p = 23和a = 5，使用费尔马小定理计算a^{2020} mod p?
23为素数，由费尔马小定理有 $a^{22}$ $\equiv$ 1 mod 23
$\therefore$ $5^{2020}$ $\equiv$ $5^{91*22+18}$ $\equiv$ $5^{18}$ mod 23 =6

4、使用欧拉定理计算2^{100000} mod 55。
gcd(2,55)=1，由欧拉定理
Φ(55)=40， $2^{\Phi (55)}$ $\equiv$ $2^{40}$ $\equiv$ 1 mod 55
$2^{100000}$ $\equiv$ $2^{40*2500}$ $\equiv$ 1 mod 55

5、手动计算7^{1000}的最后两个数位等于什么？
转化为求 $7^{1000}$ mod 100
gcd(7,100)=1, Φ(100)=40
由欧拉定理 $7^{40}$ mod 100 = 1 $7^{1000}$ $\equiv$ $7^{25*40}$ $\equiv$ 1 mod 100
最后两位数位等于 01