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RSS订阅原创 【线性代数\矩阵论】最小二乘估计详解：普通最小二乘与加权最小二乘
最小二乘估计是参数估计的基础方法，包括普通最小二乘(OLS)和加权最小二乘(WLS)。OLS通过最小化误差平方和估计参数，适用于同方差噪声；WLS则通过引入权重矩阵处理异方差噪声，最优权重为噪声协方差矩阵的逆。OLS在满足假设条件下是最优线性无偏估计，而WLS能更有效地处理异方差数据。两种方法的核心区别在于权重矩阵的选择，分别对应不同噪声特性下的最优估计。
2025-12-07 15:20:43
659
原创 【现代控制理论】【第三章 控制系统的状态空间分析】【3.1 线性连续系统的能控性】【线性定常系统的状态能控性】
本文系统阐述了线性定常系统状态能控性的定义、判据与证明。首先给出了连续时间线性时不变系统的状态空间描述，严格定义了状态能控性概念。重点介绍了能控性矩阵秩判据：系统完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵满秩。通过利用凯莱-哈密顿定理和状态方程的解，详细证明了该判据，揭示了能控性的代数本质在于能控性子空间是否充满整个状态空间。能控性作为系统分析和控制器设计的基础，只有当系统完全能控时，才能通过状态反馈等手段任意配置系统极点。
2025-12-04 00:53:11
678
原创 【现代控制理论】【第二章 控制系统的状态方程求解】【2.1 线性定常系统状态方程的解】【非齐次状态方程的解】
本文详细介绍了线性时不变系统非齐次状态方程的两种解法：直接积分法和拉氏变换法。直接积分法通过矩阵指数作为积分因子，在时域推导出解的表达式，包含零输入响应和零状态响应。拉氏变换法则在频域求解，将微分方程转化为代数方程，通过逆变换得到与时域一致的解。两种方法虽然推导路径不同，但最终结果完全等价，为系统分析提供了不同视角的求解思路。
2025-12-03 23:53:22
1124
原创 【现代控制理论】【第二章 控制系统的状态方程求解】【2.1 线性定常系统状态方程的解】【齐次状态方程的解】
本文系统阐述了线性定常系统状态方程的求解方法。首先通过标量微分方程的启示，引入矩阵指数的概念，并证明其满足状态方程求解要求。重点介绍了拉普拉斯变换法求解状态转移矩阵的过程，推导了矩阵指数与状态转移矩阵的等价关系。文章还详细讨论了状态转移矩阵的三种计算方法：拉普拉斯变换法、对角化法和凯莱-哈密顿定理法。最后给出了非齐次状态方程解的完整表达式，包含零输入响应和零状态响应两部分。这些理论构成了现代控制系统中状态空间分析的基础。
2025-11-23 11:11:30
831
原创 【矩阵分析与应用】【特征值之和等于迹、特征值之积等于行列式的证明】
本文证明了矩阵特征值与迹和行列式的重要关系：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式。通过两种方法进行证明：1）利用特征多项式系数比较，对比λ^(n-1)项系数和常数项；2）通过矩阵对角化性质推导。并以2×2矩阵实例验证了这两个结论的正确性，展示了理论证明与实际计算的一致性。这些结果为矩阵分析提供了基础性工具，在特征值计算和应用中具有重要意义。
2025-11-18 00:25:09
1062
原创 【矩阵分析与应用】Frobenius 内积
Frobenius内积是矩阵理论中一种重要的内积运算，定义为同型矩阵对应元素乘积之和。对于实矩阵为$\langle A,B\rangle_F=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$，复矩阵则需取共轭。该内积可用矩阵迹表示为$\mathrm{tr}(A^TB)$（实）或$\mathrm{tr}(A^HB)$（复），诱导出的Frobenius范数$|A|F=\sqrt{\sum|A{ij}|^2}$。它具有对称性、线性性和正定性等性质，与向量内积存在对应关系，在机器学习、信号处理等领域有广泛应用。通过示
2025-11-15 12:20:21
781
原创 【矩阵分析与应用】【第5章 梯度分析与最优化】【5.2.2 逆矩阵微分公式的详细推导】
本文详细推导了矩阵微积分中逆矩阵的微分公式 $d(X^{-1}) = -X^{-1}(dX)X^{-1}$。首先从逆矩阵定义 $XX^{-1}=I$ 出发，对两边求微分，应用乘积微分法则得到中间等式。通过代数运算解出 $d(X^{-1})$ 的表达式，并指出其与标量函数导数形式的相似性。该公式保持了矩阵乘法的顺序特性，是推导更复杂矩阵导数的基础工具。
2025-11-01 11:53:00
729
原创 【矩阵分析与应用】【第5章 梯度分析与最优化】【5.2.2 矩阵迹的微分计算示例d(tr(U))=tr(dU)证明】
本文介绍了矩阵迹（trace）的微分计算方法。通过定义$n \times n$方阵$U$的迹为对角线元素之和，推导出$d(\operatorname{tr} U) = \operatorname{tr}(dU)$这一重要公式。结果表明，矩阵迹的微分等于矩阵微分的迹，且迹运算与微分运算可以交换顺序。该公式在优化问题和机器学习梯度计算等应用场景中具有重要作用，能够有效简化矩阵求导过程。
2025-11-01 11:29:09
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原创 【矩阵分析与应用】【第5章 梯度分析与最优化】【5.2.2 标量函数的梯度】
本文系统介绍了矩阵微分在标量函数梯度计算中的应用。首先阐述了矩阵微分在机器学习中的核心价值，它能高效地处理大规模参数优化问题。随后详细讲解了梯度与雅可比矩阵的定义，并通过示例展示了标量/向量函数的求导方法。重点论述了矩阵微分的核心思想：通过迹运算建立微分与导数的联系，并提出了三步求导法（微分-整理-匹配）。文章还给出了向量标量函数（线性、二次型）和矩阵标量函数（迹函数）的具体求导公式，并利用循环置换等性质简化运算。最后以线性回归为例，展示了如何运用矩阵微分推导梯度公式。这套方法为高维优化问题提供了系统化的解
2025-10-30 01:00:06
257
原创 【矩阵分析与应用】【第1章 矩阵与线性方程组】【1.6.2.2 迹的循环置换性质】
矩阵迹的循环置换性质是矩阵微分中的重要工具。该性质表明，对于多个矩阵乘积的迹，可以循环改变矩阵顺序而不改变迹值。例如，$\text{Tr}(ABC)=\text{Tr}(BCA)=\text{Tr}(CAB)$。这个特性源于迹的基本性质$\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$，通过迭代推导可推广到任意数量矩阵的情况。值得注意的是，只能进行循环置换，不能任意调换顺序。这一性质在矩阵微分中尤为关键，它能将目标矩阵移动到乘积链末端，便于导数识别。
2025-10-30 00:48:38
748
原创 【视觉slam十四讲】【十二讲 建图】12.1 习题：证明两个正态分布的联合分布
摘要：本文证明了两个正态分布乘积的联合分布仍为正态分布。通过比较指数项系数，推导出融合后的均值μ_f和方差σ_f²公式。结果表明，融合分布的方差为两个原始方差调和平均，均值为精度加权平均。最终联合分布为N(μ_f, σ_f²)，其中μ_f = (μ₁σ₂² + μ₂σ₁²)/(σ₁² + σ₂²)，σ_f² = σ₁²σ₂²/(σ₁² + σ₂²)。该推导过程展示了高斯分布乘积的重要性质。
2025-10-29 23:29:54
870
原创 【机器人学中的状态估计】记录
【机器人学中的状态估计】第2章 概率论基础【机器人学中的状态估计】联合高斯概率密度函数、分解与推断【机器人学中的状态估计】2.2 SMW恒等式（矩阵求逆引理）【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明一维高斯概率密度函数积分为1【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明p维高斯概率密度函数积分为1【机器人学中的状态估计】2.5.1习题：假设u,v是两个相同维度的列向量，请你证明uTv=tr(vuT)【机器人学中的状态估计】3.6.1习题证明【机器人学中的状态估计】3.6.2习题证明 写出Choles
2025-10-26 10:33:04
275
原创 【机器人学中的状态估计】3.6.2习题证明 写出Choleshy的L是什么
英文原版教材中曾将矩阵维度误写为5维（实际应为6维），该错误在2020年得到勘误。中文版2018年首次印刷时未包含此修正，导致版本差异问题。配图展示了相关技术文档中的矩阵应用场景，反映出维度错误在实际案例中的影响。这一案例凸显了学术文献版本控制的重要性，特别是跨国出版物同步更新的必要性。
2025-10-26 10:26:46
340
原创 【现代控制理论】【控制系统的状态空间分析】【线性连续系统的能观性】
本文系统介绍了线性连续系统的能观性分析。能观性研究通过输出测量值能否唯一确定系统初始状态的问题。文章首先给出数学描述，建立线性时不变系统的状态空间方程。重点阐述了能观性矩阵判据：当能观性矩阵$\mathcal{O}$（由$C,CA,...,CA^{n-1}$构成）满秩时，系统完全能观。通过凯莱-哈密顿定理和系统输出响应分析，详细证明了该判据的充要性。最后通过二阶系统实例演示了能观性判断过程，验证了理论方法的有效性。能观性作为系统内在属性，仅取决于矩阵$A$和$C$，对控制系统分析和设计具有重要意义。
2025-10-25 12:30:58
774
原创 【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.4 凯莱哈密顿定理求解矩阵指数 e^At】
本文介绍了利用凯莱-哈密顿定理求解矩阵指数e^At的方法。该方法将无穷级数转化为有限项线性组合，通过特征多项式建立表示式，并分特征值互异和有重根两种情况求解系数函数。对于重特征值需引入导数方程。该方法将矩阵指数计算转化为有限维问题，是微分方程和控制系统分析的重要工具，计算结果可通过微分关系验证。
2025-10-23 00:44:32
909
原创 【矩阵分析与应用】记录
【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 Cayley-Hamilton(凯莱-哈密顿)定理及其应用】【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 凯莱-哈密顿定理证明（伴随矩阵法）】【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3 凯莱哈密顿定理求解矩阵高次幂详解】
2025-10-22 23:53:05
202
原创 【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.3 凯莱-哈密顿定理求解矩阵高次幂详解】
摘要：凯莱-哈密顿定理提供了计算矩阵高次幂的有效方法。核心思想是：n阶方阵A满足其特征方程p(A)=0，从而可将A^m（m≥n）表示为I,A,...,A^{n-1}的线性组合。文中介绍了多项式除法和递推两种求解方法，并通过2×2矩阵案例演示了具体计算过程。该方法避免了直接连乘，将O(m)运算转化为O(n)运算，在矩阵函数计算中有广泛应用价值，特别适用于2×2矩阵的递推求解和更高阶矩阵的多项式除法求解。
2025-10-22 23:49:44
1275
原创 【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.2 凯莱-哈密顿定理证明（伴随矩阵法）】
本文给出了凯莱-哈密顿定理的伴随矩阵法证明。该定理指出，任何n×n矩阵A满足其特征多项式p(λ)=det(λI-A)。证明过程分为六步：首先利用伴随矩阵性质，将特征矩阵(λI-A)与其伴随矩阵的关系展开；然后分析伴随矩阵的多项式结构；接着通过系数匹配建立方程组；最后通过矩阵幂次运算证明p(A)=0。证明的关键在于利用伴随矩阵将特征多项式转化为矩阵等式，并通过系统性的系数匹配和消元操作完成定理验证。全文逻辑严谨，展现了矩阵分析与多项式理论的深刻联系。
2025-10-22 22:25:32
1126
原创 【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.1 凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamilton）及其应用】
凯莱-哈密顿定理指出，任何方阵都满足自身的特征方程。若A是n×n矩阵，其特征多项式为p(λ)，则p(A)=0。该定理具有重要应用：1）简化高次矩阵幂计算，如通过A²=5A+2I递归求更高次幂；2）求逆矩阵，当c₀≠0时，A⁻¹可表示为A的多项式；3）在线性系统理论中分析稳定性。以2×2矩阵为例验证了定理成立，并展示了其在简化计算中的实际价值。定理将特征值的标量关系推广到矩阵层面，是矩阵分析的重要工具。
2025-10-22 21:05:06
2009
原创 【机器人学中的状态估计】2.2 SMW恒等式（矩阵求逆引理）
本文介绍了Sherman-Morrison-Woodbury(SMW)恒等式，即矩阵求逆引理。通过分块矩阵的LDU和UDL分解，推导出四种等价表达形式，揭示了矩阵A⁻¹经低秩修正BD⁻¹C后与原始逆矩阵A的关系。核心恒等式包括Woodbury主引理、Schur补相关等式等，这些公式能显著降低大规模矩阵求逆的计算复杂度，在数值计算、优化、统计学和机器学习等领域有广泛应用。文章还提供了相关参考链接。
2025-10-19 00:40:10
938
原创 【机器人学中的状态估计】联合高斯概率密度函数、分解与推断
本文探讨了联合高斯概率密度函数的分解与推断方法。通过舒尔补将联合密度分解为条件概率和边缘概率的乘积，推导出二次项表达式，证明p(x|y)和p(y)均为高斯分布。重点阐述了在已知观测值y的情况下，如何通过条件概率p(x|y)计算x的似然值，实现从先验分布到后验估计的高斯推断过程。该方法能有效利用观测数据缩小状态估计范围，降低协方差矩阵的不确定性。
2025-10-18 19:29:24
271
原创 【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明p维高斯概率密度函数积分为1
本文证明了p维高斯概率密度函数的积分等于1。通过变量替换将协方差矩阵分解为Cholesky形式，将积分转换为标准正态分布形式。利用二次型分离变量后，将多重积分分解为p个独立的一维高斯积分，每个积分值为√(2π)。最终计算表明，归一化常数(2π)^(-p/2)与积分结果(2π)^(p/2)相互抵消，使整个概率密度函数在R^p空间上的积分等于1，验证了高斯分布的概率归一性。
2025-10-18 18:44:51
1000
原创 【机器人学中的状态估计】2.1 习题：证明一维高斯概率密度函数积分为1
摘要：本文结合定积分的线性变换和二重积分的极坐标方法求解积分问题。首先通过线性变换简化积分区间，再利用极坐标变换处理二重积分，将直角坐标转换为极坐标形式，简化计算过程。该方法适用于具有对称性的积分区域，能有效降低计算复杂度。文中给出了具体计算步骤，展示了如何通过坐标变换将复杂积分转化为更易求解的形式。
2025-10-18 17:39:43
215
原创 【高等数学】二重积分的极坐标系
本文介绍了二重积分在极坐标系下的计算方法。极坐标适用于圆形、扇形等区域或被积函数含x²+y²的情况，通过r（距离）和θ（角度）描述点位置。关键转换公式为x=rcosθ,y=rsinθ，面积微元dA=rdrdθ（必须包含r因子）。计算步骤包括：坐标转换、确定积分限（先θ后r）、写出累次积分并计算。文中通过圆盘和扇形环两个典型例题演示了具体计算过程，强调极坐标能有效简化特定区域的积分运算。特别注意必须保留面积微元中的r因子，这是极坐标与直角坐标的根本区别。
2025-10-18 16:48:27
819
原创 【高等数学】定积分的线性变换
本文介绍了定积分中线性变换的基本步骤和应用案例。通过选择适当的线性变换t=ax+b，计算微分关系，变换积分限，并代入计算，可以简化积分过程。文中提供了四个案例：简单线性函数、一般线性函数、倒数函数和三角函数，分别演示了直接计算和线性变换法的具体应用，两种方法结果一致，验证了线性变换法的有效性。这种方法特别适用于被积函数为线性组合或复合函数的情况，能显著简化计算过程。
2025-10-18 16:31:36
897
原创 【机器人学中的状态估计】6.6 习题证明
本文摘要总结了机器人学状态估计中的三个重要证明：1) 证明了向量叉积的反交换性$u^v=-v^u$；2) 利用罗德里格斯公式证明了旋转矩阵的逆等于其转置$C^{-1}=C^T$；3) 证明了旋转矩阵与向量叉积的关系$(Cu)\hat{}=Cu\hat{}C^T$，该证明与第7章相关内容类似。这些证明为理解机器人学中的状态估计问题提供了理论基础。
2025-10-18 12:38:21
615
原创 【机器人学中的状态估计】第2章 概率论基础
本文介绍了机器人学状态估计中的概率密度函数基础概念。主要内容包括：1）概率密度函数的定义与性质（非负性、归一性）；2）联合概率密度与边缘概率密度的关系；3）条件概率密度和贝叶斯公式，特别是其在状态估计中的应用；4）随机变量的矩（均值、方差）及其计算方法；5）统计独立性与不相关性的区别；6）高斯分布归一化积的特性。这些概率论基础为后续状态估计算法提供了理论支撑，特别是贝叶斯框架在机器人感知中的应用。
2025-10-15 01:19:15
322
原创 【统计至简】边缘概率密度函数理解与计算
本文介绍了边缘概率密度函数的概念及其计算方法。边缘概率密度函数用于从联合分布中提取单个变量的概率分布，通过积分掉其他变量实现。文中以身高和体重为例说明其意义，并解释"边缘"一词源于统计表格中的边缘合计。数学上，X的边缘密度通过对Y积分获得，反之亦然。通过一个二维均匀分布的计算示例，展示了如何求解边缘密度函数：X在[0,1]上均匀分布（f_X(x)=1），Y在[0,2]上也均匀分布（f_Y(y)=1/2）。几何上，边缘密度可视为高维联合分布向坐标轴的投影。
2025-10-15 01:12:50
946
原创 【机器人学中的状态估计】2.5.1习题：假设u,v是两个相同维度的列向量，请你证明u^Tv=tr(vu^T)
【机器人学中的状态估计】2.5.1习题：假设u,v是两个相同维度的列向量，请你证明u^Tv=tr(vu^T)
2025-10-14 23:45:15
285
原创 【机器人学中的状态估计】第9章：海塞矩阵的稀疏性边缘化：Schur消元和Cholesky分解
【机器人学中的状态估计】第9章：海塞矩阵的稀疏性边缘化：Schur消元和Cholesky分解
2025-10-12 23:49:55
123
原创 【机器人学中的状态估计】7.5.3习题：exp((Cu)^)=Cexp(u^)C^T 证明
【机器人学中的状态估计】7.5.3习题：exp((Cu)^)=Cexp(u^)C^T 证明
2025-10-12 22:05:29
283
原创 【机器人学中的状态估计】7.5.2习题证明：(Cu)^=(2cos(phi)+1)u^-u^C-C^Tu^公式证明
【机器人学中的状态估计】7.5.2习题证明：(Cu)^=(2cos(phi)+1)u^-u^C-C^Tu^公式证明
2025-10-12 19:08:40
147
原创 【机器人学中的状态估计】7.5.1习题证明：(Cu)^=Cu^C^T公式证明
【机器人学中的状态估计】7.5.1习题证明：Rv^R^T=(Rv)^公式证明
2025-10-12 18:38:13
104
原创 ICP匹配点云，SVD分解
这是一组共4张图片的展示，每张图片都配有统一的"在这里插入图片描述"文字说明。图片采用居中排列方式，通过图片URL链接加载，格式为jpeg格式。所有图片都使用了相同的插入描述方式，并保持一致的图片展示风格。图片内容未直接显示，但通过URL可以访问到具体的图片文件。该组图片可能用于博客文章或其他网络内容的插图展示。
2025-09-30 22:10:25
141
原创 【C++】【STL】【adapters】【priority_queue】用法
本文介绍了C++ STL中的priority_queue容器适配器。priority_queue是一个基于堆结构的优先队列，默认按最大值优先出队，支持O(log n)的插入和删除操作。文章详细讲解了其定义方式（最大堆/最小堆）、基本操作（push/pop/top等）和时间复杂度，并提供了自定义数据类型的两种实现方法（重载运算符或自定义比较器）。最后通过一个任务调度系统的案例，展示了如何根据优先级和执行时间对任务进行排序处理。priority_queue适用于需要高效获取最高优先级元素的场景，但要注意它不支持
2025-08-23 00:19:03
996
原创 点云的PFH 和 FPFH特征
PFH和FPFH是两种重要的点云局部特征描述子，用于点云配准、物体识别等任务。PFH通过计算查询点邻域内所有点对的几何关系，构建三维角度直方图，描述能力强但计算复杂度高（O(nk²)）。FPFH是PFH的改进版本，采用两阶段计算：先计算简化SPFH（仅查询点与邻居点对），再加权融合邻居的SPFH，复杂度降至O(nk)。FPFH在保持较好描述能力的同时，显著提升了计算效率，且特征维度更低（3b vs b³）。两者对邻域大小和法向量精度敏感，但FPFH更适合大规模点云应用。
2025-08-17 20:56:52
846
原创 瑞利商的定义和应用
摘要： 瑞利商是分析厄米特矩阵特征值的重要工具，定义为$R(A,x)=\frac{x^HAx}{x^Hx}$。其核心性质包括：1) 取值范围在矩阵最小与最大特征值之间；2) 在特征向量处取得极值，最大值对应最大特征值，最小值对应最小特征值。这些性质使其成为研究矩阵谱特性的有效方法。
2025-08-03 14:37:08
1197
利用单链表实现有序表的合并.cpp .h
2022-01-25
三相方波逆变电路simulink仿真分析.rar
2022-01-12
电流跟踪PWM控制的三相逆变器simulink仿真.zip
2022-01-25
电容滤波的三相不可控整流电路simulink仿真.zip
2022-02-03
单相桥式晶闸管整流电路simulink仿真.zip
2022-02-08
三相全控桥晶闸管整流电路simulink仿真.zip
2022-02-08
PFC的PID控制_C语言离散化实现.rar
2022-03-01
电力电子技术DC-DC simulink Cuk的仿真电路
2022-01-11
单相方波逆变电路simulink仿真文件.rar
2022-01-12
三相SPWM逆变电路simulink仿真.zip
2022-01-23
三相SPWM逆变电路的simulink仿真（死区时间的仿真研究）.zip
2022-01-24
电力电子技术DC-DC simulink Buck-Boost的仿真电路
2022-01-11
单相单极性SPWM逆变电路simulink仿真.rar
2022-01-14
Buck降压电路的simulink仿真
2022-01-20
Boost升压电路simulink仿真
2022-01-21
SVPWM的simulink仿真
2022-03-21
单相双极性SPWM逆变电路simulink仿真.rar
2022-01-14
激光雷达和相机的联合标定方法计算软件.zip
2022-01-11
链栈的实现cpp文件 h文件
2022-02-09
删除单链表的倒数第n个节点.cpp
2022-01-22
数据结构C++ 单链表的实现 .cpp和.h文件
2022-01-21
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