GAME101 L4三维变换和视图/投影变换

旋转θ和旋转-θ的矩阵区别

• 可以看到 旋转 -θ 矩阵是旋转 θ 的转置（行列互换）
• 从定义上来看，旋转 θ 和旋转 -θ 是一个互逆操作
• 因此在旋转中，旋转是正交矩阵，旋转的逆=旋转的转置

三维变换3D Transformations

使用4x4的矩阵表示三维的仿射变换，跟二维一样，三维变换先用线性变换后再进行平移变换

缩放矩阵

平移矩阵

旋转矩阵

绕X轴旋转

绕Y轴旋转

绕Z轴旋转

问题

为啥绕Y旋转和绕X/Z旋转规律不一致？

• 需要考虑轴的相互顺序
• x/y/z 都可以通过其他两个向量叉乘得到
• xy=z,yz=x
• 但是 y=zx，而不是 y=xz

3D旋转

观测变换 Viewing transformation

如何拍摄一张照片？

• 找到一个好的位置，集合所有人员（模型变换 model transformation）
• 找一个好的位置，摆好一个好的角度（视图变换 view transformation）
• 拍照（投影变换 projection transformation）

视图变换 View / Camera Transformation

先定义相机基本属性

• 相机位置
• 相机朝哪看
• 相机向上方向
  

预先约定相机

• 位置在原点（0，0，0）
• 永远向-z方向看
• 永远以Y轴为向上方向
• 永远是模型在进行移动(相对运动)
  

相机进行平移旋转

• 将相机平移到远点
• 旋转视角方向到-z
• 旋转向上方向到Y
• 旋转上述两方先后自然X方向能对上
  

如何求矩阵

• 根据前文所说旋转是正交矩阵，旋转的逆=旋转的转置
• 因此将旋转到x,y,z轴上的点，代入到旋转逆矩阵
• 下图左下角那逆矩阵可以代入x,y,z的点可以求得
• 再转置就可以得到所求对应矩阵
  

投影变换 Projection transformation

正交投影，不会带来近大远小的效果：

透视投影：

正交投影 Orthographic Projection

• 相机位于原点，看向-Z，向上方向为Y
• 丢弃掉所有Z坐标，所有内容都在xy上
• 所有的内容都在xy都为-1~1的矩形上
  
• 在X轴上定义了左l和右r,[l,r]
• Y轴定义了 [ b,t]，下和上
• Z轴定义了 [f,n]，远和近，因为相机看向的是-z方向，远的物体z轴会越小
• 然后通过平移缩放变成标准立方体
  
  

矩阵

• 先将中心点平移得到最右侧平移矩阵
• 再将x,y,z进行缩放[-1,1]范围
  

透视投影 Perspective Projection

回顾齐次坐标

• (x, y, z, 1), (kx, ky, kz, k != 0), (xz, yz, z2, z != 0) 在3维空间中都表示的是同样的点 (x, y, z)
• 例如 (1, 0, 0, 1) 和(2, 0, 0, 2)都表示点 (1, 0, 0)

怎么去做透视投影

将透视投影拆成2个过程

• 首先将Frustum的形状进行挤压（近平面永远不变，Z值不会发生变化，远平面的中心点也不会发生变化），挤成一个长方体
• 然后进行正交投影
  

怎样从透视投影到正交投影

如果只关注Y值，那么(x,y,z)挤压后就是相似三角形算出来

类推x也可以得到响应的值
在齐次坐标中，z值目前不知道，然后矩阵乘一个z值，得到下图

因此透视到正交的矩阵*（x,y,z,1）得到上图中得一个点，那计算后可得到矩阵：

怎样去求第三列？

• 在近平面，所有的点都会保持不变
• 所有的远平面中的点，Z值会保持不变

1、根据上述近平面的说法，将z值为n
在齐次坐标中可以映射成

那么透视到正交的矩阵，第三行可以表示成下图

那么我们根据上图得到
An+B = n²

2、再根据上面远平面中心点(0,0,f)的挤压后保持不变的特性
得到下图

3、根据上述两个算式，可以求出A和B，从而得出对应矩阵